7导数及其应用_.ppt

例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？ 解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x 例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？ 变式1：求过点A的切线方程？ 例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？ 变式1：求过点A的切线方程？ 二、牛顿—莱布尼茨公式 * 第一章 导数及其应用复习小结 本章知识结构 微积分 导数 定积分 导数概念 导数运算 导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度 面积 功 积分定义的含义 微积分基本定理的含义 微积分基本定理的应用 路程 定积分概念 微积分基 本定理 最优化问题 ①函数的平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为: ②函数的瞬时变化率 O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 导数 返回 导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即: 返回 当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 返回 1) 如果恒有 f′(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 定理 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 返回 2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)0，在a 右侧附近f’(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值. 函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)0，在b右侧附近f’(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 注：导数等于零的点不一定是极值点． 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值. 函数的最大（小）值与导数 x y 0 a b x1 x2 x3 x4 f(a) f(x3) f(b) f(x1) f(x2) 返回 两年北京导数题,感想如何? 复合函数的导数: 注:y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的乘积. 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为: 或 返回 返回 过p(x0,y0)的切线 1) p(x0,y0)为切点 2)p(x0,y0)不为切点 解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， ①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x 解得x0=1或x0=－ k= f/(x0)= 3 x02－1， ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x－1，则P点坐标为 ____________, 切线方程为_____________________． (2,8)或(－ 2, －4) y=11x－14或y=11x+18 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似求