微分应用-极值最值.ppt

又 在(0, 150)中, 0 故W(15)为极小值也即为最小值. 故 x =15时, 全程运费最省. 例8. 宽为2米的支渠道垂直地流向宽为3米的主渠道, 若在其中漂运原木, 问能通过的原木的最大长度是多少? 解: 如图建立坐标系. 原木直径不计. 设AB是通过点C(3, 2) 且与渠道两侧壁分别交于A和B的线段L. 要求L的最小值. 3 2 B x y t O C L A L(t) = AC + CB 实际问题中最小值一定存在, 且驻点唯一, 故此极小值就为最小值, 于是 m = L(t0) ? 7.02 故能通过原木的最大长度为7.02米. §3-6 函数图形的描绘 一、渐近线 渐近线定义: 当C上动点M离坐标原点无限远移时, 存在一直线l, 使MN趋向于零, 则称直线l为曲线 C的一条渐近线. x y O C M N N l y=f (x) 注1. 渐近线是直线l: ax+by+c=0的形式. 注2. 一条曲线的渐近线可以是水平线 y=y0, 可以是铅直线 x=x0, 也可以是斜线: y=ax+b. 注3. 一个函数所表示的曲线可以有零条, 一条, 二条甚至更多条渐近线. 确定函数 y = f (x)的渐近线的方法如下: (1) 铅直渐近线: 则 y = f (x)有一铅直线渐近线 x=x0. x = 0为其渐近线. (2) 水平渐近线: 则 y = f (x)有一水平线渐近线 y = A. (3) 斜渐近线: 则 y = f (x)有一斜线渐近线 y=ax+b. 证: 如图, M N N y=f (x) y=ax+b 设y = f (x)有渐近线y=ax+b. 例1. 解: (1)对于 y = lnx, 故 y = lnx有铅直线渐近线 x = 0. x y O y = lnx (2) 故该双曲线有一对斜渐近线: x y 二、函数图形的描绘. 利用导数描绘函数的图形, 步骤如下: (1) 确定y = f (x)的定义域, 并讨论其奇偶性, 周期性, 连续性 (2) 求 f (x), f (x)及其全部零点和不存在的点, 得系列点x1, x2,…, xn . (3) 在 (xi, xi+1)上及分点xi 处观察 f (x), f (x)的符号, 从而确定单调区间、极值点; 对应曲线的凹凸区间及拐点. ? : 表单增 ? : 表单减 ? : 表凹 ? : 表凸 (4) 确定y = f (x)的渐近线及其它变化趋势. (5) 补充一些适当的点(xi , f (xi)). (6) 用光滑的曲线连接这些点并作图. 例2. 描绘 f (x) = 2xe–x的图形. 解: (1) 函数定义域为(??, +?), 连续. (2) f (x) = 2e–x –2xe–x = 2(1 –x)e–x f (x) = –2e–x –2(1 –x)e–x = 2e–x(x –2 ) 由 f (x) = 0, f (x) = 0 , 得 x1 = 1, x2 = 2. (3) 将(??, +?)分为三个区间(??, 1), (1, 2), (2, +?) 列表讨论如下 (??, 1) f (x) x f (x) + 1 0 (1, 2) ? 2 0 (3, +?) ? + f (x) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y O (4) (5) 补充点 f (0)=0. 描点作图. 2 1 例3. 解: (1)定义域为 f (x)为奇函数, 故 f (x)的图形关于原点对称. (2) 由 f (x)0, 知 f (x)无驻点, f (x) = 0, 得x0 = 0. 且 0 f (x) x f (x) + + + ? f (x) 0 ? ? + 间断点 ? ? (3) (4) (5) 取辅助点 描绘出函数在[0, +?)上的图形, 再根据对称性得到函数在(–?, 0)的图形. y x M1 M2 M3 例4. 解: (1) 定义域(??, +?), 连续 (2) f (x)为0和不存在的点为4, 0, 6 f (x)无零点, f (x)不存在的点为0, 6. (3) 在(??, 0), (0, 4), (4, 6), (6, +?)上讨论. f (x) x f (x) + + + ? f (x) ? ? ? ? ? ? (??, 0) (0, 4) 不存在 不存在 ? ? 极小0 0 4 0 ? (4, 6) ? ? ? ? 6 不存在 不存在 拐点 (6, 0) (6, +?) (4) = 2 故有斜渐近线 y = ? x +2 . x y O 作图如下: 4 (6, 0) y= – x+ 2 §3-7 相关