0808多元函数的极值及其求法.ppt

* 1、二元函数极值的定义 ◆极大值和极小值统称为极值. ◆函数取得极值的点称为极值点（极大值点，极小值点）. 一、多元函数的极值和最值 第八节 多元函数的极值及其求法 例1 例2 例3 ◆根据极值的定义,易知以下结果: 2、二元函数取得极值的条件 证明 定理1(必要条件) 驻点 推广 驻点或不可导点 极值点 ◆问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ ◆注意： 例2 例3 定理2(充分条件) ◆求二阶连续可导的函数 z = f ( x, y ) 极值的一般步骤: 10 20 30 求出所有驻点： 求出每个驻点处的A,B,C的值； 确定每个驻点处， AC-B2 的符号， 并判定函数在该点处是否有极值， 有极值时，由A的符号判定是极大值还是极小值. 解： 例4 例4 ◆在上述假设下，求最值的一般步骤： 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值. 3、多元函数的最值（最大值和最小值） 假设: (2)计算在D的边界上的最大值和最小值; (3)比较出结果:最大者即为最大值,最小者即为最小值. (1)求出函数在D的内部的所有驻点处的函数值; (1)函数在有界闭区域D上连续， (2)函数在D的内部可微分， (3)函数在D的内部只有有限个驻点. ★在求解实际问题时， 若知道最值必在D的内部取到， 且目标函数在D的内部可微分且只有唯一驻点， 则该驻点即是所求的最大（小）值点. 解： 设水箱的长为 x m,宽为 y m, 例5 则高应为 ◆无条件极值： 对自变量除了有定域内的限制，无其它条件. ◆条件极值： 二、条件极值、拉格朗日乘数法 解： 设水箱的长为 x m,宽为 y m, 例5 则高应为 高为 z m, 对自变量有附加条件的极值． ◆拉格朗日乘数法: ◆拉格朗日乘数法可用于自变量和条件多于两个的情形 解： 设水箱的长为 x m,宽为 y m, 例5 高为 由 解： 由 例6 ◆ 二元函数的极值的求法 ◆ 会用拉格朗日乘数法求解一些较简单的 极值和最值问题 （取得极值的必要条件、充分条件） ◆ 会求一些较简单的最值的应用题 四、小结与教学基本要求: ◆ 掌握： * 当时，在取极大值; 当时，在取极小值; 但在无极值.