matlab(第四章 函数和方程).ppt

MATLAB数学实验 第四章 函数和方程 主要内容 MATLAB指令 非线性方程（组）求解 函数极值 曲线拟合 计算实验： 迭代法非线性拟合问题的线性化处理 建模实验： 购房贷款利率计算最佳订货量 4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法 4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的 MATLAB指令 4.3 计算实验：迭代法 4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货量 4.1 预备知识：零点 线性方程 方程式中仅含有未知量的一次方和常数项的方程 非线性方程(nonlinear equation) f (x) = 0 除线性方程之外的方程都是非线性方程（高次代数方程超越方程） 若对于数?有f (?) = 0, 则称?为方程的解或根，也称为函数f (x)的零点 若f (?) = 0, f ’(?)?0 则?称为单根。 若有k 1, f (?) = f ’(?) = …= f (k-1)(?) = 0，但f (k)(?)?0 , 称为k重根。 注意：一般，非线性方程的解的存在性和个数是很难确定 的，它可能无解，也可能有一个或多个解。 非线性方程求解通常用数值方法求近似解，常见的有二分法、牛顿法等 4.1 预备知识：零点 高次代数方程 (n次多项式方程) 1. 代数学基本定理可知，n次方程在复数域上有n个根； 2. n=4，有求根公式； n=5无求根公式，只能借助数值解法； 远在公元前1700年的古巴比伦人就已有关于一、二次方程的解法。《九章算术》(公元前50~100年)其中“方程术”有联立一次方程组的一般解法。 1535年意大利数学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程的解法，卡当(H·Cardano)从他那里改进了这种解法，于1545年在其名著《大术》中公布了三次方程的公式解，称为卡当算法。 后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。此成果更激发了数学家们的情绪，但在以后的二个世纪中，求索工作始终没有成效，导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。 1799年，高斯证明了代数方程必有一个实根或复根的定理，称此为代数基本定理，并由此可以立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。 但在以后的几十年中仍然没有找出高次代数方程的公式解。一直到18世纪，法国数学家拉格朗日用根置换方法统一了二、三、四方程的解法。 但求解五次方程时未能如愿,开始意识到有潜藏其中的奥妙, 用现代术语表示就是置换群理论问题。 在继续探索5次以上方程解的艰难历程中，第一个重大突破的是挪威数学家阿贝尔(N·Abel1802-1829) 1824年阿贝尔发表了“五次方程代数解法不可能存在”的论文，但并未受到重视，连数学大师高斯也未理解这项成果的重要意义。 1828年17岁的法国数学家伽罗华(E·Galois 1811-1832)写出了划时代的论文“关于五次方程的代数解法问题”，指出即使在公式中容许用n次方根，并用类似算法求五次或更高次代数方程的根是不可能的 文章呈交法兰西科学院后，因辈份太低遭到冷遇，且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递稿，得到泊松院士的判词“完全不能理解”。 后来伽罗华命运不佳，投考名校巴黎工科大学落榜，屈就高等师院，并卷入政事两次入狱，被开除学籍，又决斗受伤，死于1832年。决斗前，他把关于五次代数求解的研究成果写成长信，留了下来。 十四年后，法国数学家刘维尔(J·Liouville)整理并发表了伽罗华的遗作，人们才意识到这项近代数学发展史上的重要成果的宝贵。 38年后，即1870年，法国数学家若当(C·Jordan)在专著《论置换与代数方程》中阐发了伽罗华的思想，一门现代数学的分支—群论诞生了。 在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程的有效算法，它们构成了数值分析中的古典算法。至于超越方程则不存在一般的求根方式。 4.1 预备知识：零点 超越方程 方程包含x的超越函数，称为超越方程 （如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等） 注意：没有一般的求根公式，其解可能是一个或者几个甚至无穷多个，也可能无解。 4.1 预备知识：零点 通常求非线性方程的数值解大致分为3个步骤 1. 判断根的存在性，即方程有没有根，如果有根，有几个根； 2. 确定根的近似位置（有根区间），即将每一个根用区间隔离开，获得方程各根的初始近似值； 3. 根的精确化，即将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精确度为止。 4.1 预备知识：零点 非线性方程（组）f (x) = 0， x=(x1, x2, …