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导数在研究函数中的应用—— 函数的极值与导数 极值与极值点 极值与导数的关系 深化极值的理解（1） 极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。 求函数极值的步骤与格式 求可导函数的极值常按如下步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数f ’(x)； ③ 求方程f ’(x) =0的根，这些根也称为可能极值点； ④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点 (通过列表法)。 深化极值的理解（2） 课本29页结论：函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要非充分条件. 思考1：这个结论的前提条件是什么？ 思考2：对于一般的函数，上述结论应该怎样改？ 拓展*：极值存在性问题 若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值. 导数值为0的点不一定是极值点，极值点也不一定是导数值为0的点，还可能是不可导点. 函数极值的逆向运用 三次函数 根据上次研究的三次函数的四种图象类型，你能否给出判断条件？ * * 观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在x=x0 及其附近有定义，如果x0处的函数值比附近所有各点的函数值都大，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值；如果x0处的函数值比附近所有各点的函数值都小，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 称x0为函数的极大(小)值点。 x 0 2 y 极值点不是点！还有哪些类似的点非点？ o a x0 b x y o x y a x0 b 1、通常(可导)曲线在极值点处切线的斜率为0 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)0,右侧f ’ (x)0,那么f(x0)是极大值, x0为极大值点。 3、如果在x0附近的左侧f ’(x)0,右侧f ’(x)0,那么f(x0)是极小值, x0为极小值点。 o a x1 x2 x3 x4 b x y 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 一般的函数，不可导的点也可能是极值点，可能极值点有两类，⑴导数为0的点、⑵不可导点. 求函数的极值步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数f ’(x)； ③ 求方程f ’(x) =0的根及不可导点，得可能极值点； ④ 列表检查各点的左右两侧导数值的符号，确定极值点 。 极值逆向应用求参数值的问题： 1.根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组解参数值(或列不等式求范围) 2.解出参数值后必须验证(原因：导数值为0不是此点为极值点的充要条件,如上面第5题) *