第一章数值计算引论.ppt

数值计算方法 电力系发电教研室 郝育黔 第一章 数值计算引论 解决科学计算问题的过程 解决的数学问题 计算方法课是研究各种数值算法及其有关理论的一门课程。从工程实际出发，本课程所要解决的数学问题主要是： 非线性方程的数值求解 线性方程组的数值求解 插值和曲线拟合 数值积分和微分 常微分方程的数值求解。 数值算法特点： 1〉面向计算机 根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的； 2〉保证算法的收敛性和稳定性 数值算法的数值解能任意逼近精确解到要求的程度；还要保证算法的数值稳定性。 3〉要有好的计算复杂性 算法的计算复杂性是指该算法的空间复杂度和时间复杂度。 空间复杂度：指算法需占用的存储空间. 时间复杂度：指算法包含的运算次数，即收敛速度。 计算方法中常用的一些概念 数值问题：由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题。 数值解：经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为数值解。一般为近似值。 算法：由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。 * 本课程的性质、目的和任务： 本课程是电气工程及其自动化专业一门专业基础课。其目的是通过本课程的学习，使学生掌握利用计算机计算各种数学模型的数值计算方法，并通过数值上机实验提高学生程序设计的基本技能。为进一步学习专业课和毕业后从事专业工作打下必要的基础。 课时安排： 讲课：28学时 上机：12学时 主要内容（预备知识）： 数值计算方法的概念、研究对象及特点 数值计算中的误差； 近似数的误差表示法； 运算误差分析； 减小运算误差的原则； 随着计算机技术的发展和科学研究、生产实践的需要，利用计算机作为科学计算的主要工具越来越不可缺少。 科学计算（仿真）已成为和传统的科学方法—理论和实验相并列的第三种科学方法。 因而要求研究适合计算机使用的数值计算方法。 §1.1 数值计算方法 数值 方法 ? ? ? ? 计算机 近似解 实际问题 数学模型 数值算法是连接理论与实践的桥梁！！ 验证 数值计算方法，又称数值分析, 它是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。 数值计算方法以数学问题为研究对象，但它不是研究数学问题本身。 而是着重研究求解的数值方法及其相关理论，包括误差分析、收敛性和稳定性等。 数值计算方法定义： 例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行 次运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。 §1.2 误差的来源 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差） 机器字长有限 —— 舍入误差 大家一起猜？ 1 1 / e 解法之一：将 作Taylor展开后再积分 S4 R4 取 则 称为截断误差 = 0.747… … §1.3 误差与有效数字 ? 绝对误差 其中x为精确值，x*为x的近似值。 ，例如： 工程上常记为 ，称为绝对误差限 ，简称误差、精度 的上限记为 由于无法准确地知道绝对误差 的大小，但根据具体情况可估计处误差范围。 误差限不唯一，实际中常用四舍五入来取近似值。 例如测量数据、四舍五入数据 对于四舍五入取得的近似数，怎么来体现它的精度？ -----有效数字 ?有效数字 用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。 有效数字即有效数字位数，它是由绝对误差决定的。 定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数 字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。 另一等价定义： 例： 问： 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： 有 位有效数字，精确到小数点后第 位。 4 3 关于有效数字还要指出以下几点： 1)用四舍五入取准确值的前 n 位作为近似值，则必有 n位有效数字。 2) 把任何数乘以