新单调性与极值3-3.ppt

第三节 一、函数单调性 二、函数的极值及其求法 函数的单调性与极值 第三章 三、最大值与最小值问题 一、函数单调性的判定法 证： 应用拉氏定理,得 定理1 (1) 如果定理1中的闭区间换成其他各种区间，结论也是成立的. 注意 如果 上单调增加(单调减少) 例2 解 例1 求函数的单调区间 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 单调区间的分界点 在该定义区间的部分区间上单调． 但 则该区间称为函数的单调区间. 方法: (导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。） 例3 解 单调区间为 例4 解 单调区间为 例6 证 例5 例7 二、函数的极值及其求法 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 定理2(费马定理) 定义 注意: 例如, 定理3(第一充分条件) (是极值点情形) (2)如果 而 及 时, 符号相同, (3)如果当 则 (1)如果 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例8 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 证 同理可证(2). 定理4(第二充分条件) 那么 (2)当 (1)当 例9 解 图形如下 注意: 三、最大值与最小值问题 求最值步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个最大哪个就是函数在区间上的最大值,哪个最小哪个就是函数在区间上的最小值; 例10 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. 点击图片任意处播放\暂停 例11 　　敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？ 解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 清楚(视角? 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m, 例12 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高于 解: 设观察者与墙的距离为xm, 则 令 得驻点 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 唯一, 驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚. 问观察者在距墙多远处看图才最 作 业  P1731 (3) 2(3)(4)(8) 3(5)(7) 4.5(7) 6(1) 8. 14. 15. 16.