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* * 义务教育课程标准实验教科书（人教版） 数学 八年级　下册 第十八章　勾股定理 18.1　勾股定理 最大正方形的面积 拍卖 如图，有一块土地待拍卖，土地共分为三个正方形，其中，两个较小的正方形的面积分别为74英亩和116英亩，三个正方形中间围成了一个 直角三角形池 塘。 　　 　　如果有人 能计算出最大 正方形的面积，池塘将不计入 土地价钱白白 奉送。 伦敦克里斯蒂拍卖行 分析： 直角三角形的斜边 两小正方形的面积 直角三角形两直角边 命题１ 命题１ 　　如果 两直角边长分别为ａ，ｂ，斜边长为ｃ，那么 ． 命题验证 命题证明 勾股定理 勾 股 弦 　　直角三角形 　ａ２＋ｂ２＝ｃ２ （单击超链接至几何画板） 命题１的证明（赵爽的证法） a2+b2 c2 = 勾股定理的其他证法 传说中毕达哥拉斯的证法（图1）： 提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面 积相等. 美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）： 提示：三个三角形的面积和等于它们组成的梯形的面积. 弦图的另一种证法（图2）： 提示：以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积. 话说“勾股” 勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为“毕达哥拉斯定理”，有时亦称为商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572-公元前497）于公元前550年首先发现的。但据我国最早的数学著作——《周髀算经》记载，我国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。 勾股定理的发现和证明，在数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法更具有科学创新的重大意义。 Pythagoras “勾股定理”之美 ICM 2002 Beijing August 20-28，2002 2002年国际数学大会会徽（如右图） 勾股树 数学海螺（如下图） 超链接至几何画板 牛刀小试 1、求出下列直角三角形中未知边的长度. （1） （2） （1）解：∵AB=10，BC=6， ∴在Rt△ABC中， AC2=AB2-BC2 =100-36 =64， ∴AC=8. （2）解：∵AC=15，BC=8， ∴在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2 =225+64 =289， ∴AB=17. 牛刀小试 2、一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前有多高？ 解：如图所示，设三角形的三个顶点 分别为A,B和C.根据题意，得： A B C AC2=AB2+BC2=36+64=100, ∴AC=10m， ∴旗杆折断之前的高度=6+10=16m. 牛刀小试 3、在数轴上作出表示 的点. ０ １ ２ ３ ４ ５ １ 巩固练习 1、小明在平坦无障碍物的草地上，从A地向东走3m，再向北走2m，再向西走1m，再向北走 1m，最后向东走4m到达B地，求A、B两地间的距离是多少？ 解：根据题意，可得如图 所示的直角三角形， 两直角边长度分别为： 1+2=3m和3+（4-1）=6m, 所以，AB2=32+62=45， 所以，AB= m. 答：A、B两地之间的距离是 m. 巩固练习 2、已知圆柱的底面半径为6m，高为10m，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后1位）？ √ 巩固练习 3、如图，∠C=90°，则图中三个半圆的面积之间有什么关系？ 解：如图，不妨设三个半圆分别为 ①、②和③，半径分别为a、 b和c，则 ① ② ③ S①=πa2／２, S②=πb2／２, S③=πc2／２, 在Rt△ABC中， 　　 (2a)2+(2b)2=(2c)2， S①+S②=S③. 两端同时乘以π／８，即可得 *