第三章第1、2节数值计算.ppt

* * 第三章 非线性方程的数值解法 引言： 在工程技术和科研领域，人们经常会遇到如下 形式的方程求根问题： 求解方程： 其中， 是 的非线性函数。 一、有关的基本概念 1、方程的分类： 2、如果 ,那么 称为方程 函数 ?的零点。 3、如果 那么 称为方程 的根或 的m重根或函数 的m重零点。 特别地，如果m=1,则称 为方程 的单根或函数 的单重零点。 注：只有少数低次代数方程才有求根公式，5次以上代数方程及超越方程没有通用的求根公式。出于实际应用的需要，人们在无法求得方程根的精确值的情况下，开始研究如何用数值计算方法求得方程 的满足指定精度要求的近似根。 二、有关的基本定理： 定理1：（代数学基本定理） 若 是n次代数方程，则其恰有n个复根 （重根个数按重数算）。 定理2： 为方程 的m重根或函数 的m重零点 推论： 为方程 的单根或函数 的单重零点 定理3：若 在 上连续，且 则至少有一点 使得 若 还在 上单调，则有唯一一点 使得 §3.1 根的有哪些信誉好的足球投注网站与二分法 问题：如何寻找隔根区间？ ， 1、描图法：P78 被称为隔根区间。 2、逐步有哪些信誉好的足球投注网站法：P79 二等分含根区间，通过判别分点及区间左端点的符号（同号还是异号）确定新的含根区间，长度为分半前含根区间长度的一半。这样逐次分半下去，当含根区间长度充分小时，可从中得到满足指定精度要求的近似根。 4、二分法的操作过程： 第一步：二分含根区间 计算分点 及 若 则 若 则考察 及 的符号： 若 与 异号，则根 必位于 记 即得新的含根区间 内， 3、二分法的基本原理： 其长度亦为 若 与 同号，则根 必位于 内， 记 即得新的含根区间 其长度为 第二步：二分新的含根区间 计算分点 及 若 则 若 则考察 及 的符号： 若 与 异号，则根 必位于 内， 记 即得新的含根区间 其长度为 若 与 同号，则根 必位于 内， 记 即得新的含根区间 其长度亦为 如此逐次二分下去，…… 第k步: 二分前一步得到的含根区间 计算分点 及 若 则 若 则考察 及 的符号： 若 与 异号，则根 必位于 内， 记 即得新的含根区间 其长度为 若 与 同号，则根 必位于 内， 记 即得新的含根区间 其长度为 若取 作为根 的近似值，则 （*） 按上述操作过程，得到一序列 且由 可知： （*） 定理：若 在 上连续、单调且 则由二分法产生的序列 收敛于方程 在 内的唯一实根 若取 作为根 的近似值， 则 例1：求方程 在区间 [1,1.5]内的实根， 要求误差不超过 解：在 [1,1.5]上： 连续，且 故 在[1,1.5]上单调，又有 故可用二分法求 在 [1,1.5]内 的唯一实根 的近似值。 先预估二分的次数： 由 可得 取 列表计算如下： 开始 ? ? 1 1.5 1 1.25 － 1.25 1.5 2 1.375 ＋ 1.25 1.375 3 1.3125 － 1.3125 1.375 4 1.3438 ＋ 1.3125 1.3438 5 1.3281 ＋ 1.3125 1.3281 6 1.3203 － 1.3203 1.3281 7 1.3242 ? ? ? 故方程 在区间 [1,1.5]内的近似根为 1.3242. 二分法的使用前提： 在 上连续，单调且 从而 在 内有唯一实根。 推广到： 在 上连续，且 缺点：1、使用范围有限定，不能用于求偶数重根和 复根。 2、只用到函数值的符号，未用到计算出的函 二分法的优缺点： 优点：算法原理简单，由二分法得到的序列能确保 收敛到方程的根。 数值。 §3.2 迭代法及加速方法 一、迭代法的基本原理 给定非线性方程 将它改写成如下等价形式： 然后建立相应的迭代公式： 选取一初始值 代入上述迭代公式，经迭代得到一 序列 如果该序列收敛于某一数 且 连续， 则有 即 是原方程 的根。 注：将 改写成等价形式： 并不唯一，不同的改写方式就得到不同的 迭代公式。用迭代法求解非线性方程必须分析其 收敛性及收敛速度。P86，例1. 二、迭代公式的收敛条件 1、定理1：（全局收敛定理） 迭代函数 在 且（1）任意 总有 （2）存在 使得对任意 总有 上具有连续的一阶导数， 设迭代函数 （2）