高数 经济数学——微积分(第二版)4-4.pptVIP

§3.5 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 上页 下页 铃 结束 返回 首页 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 提问： f(a)和 f(b)是极值吗？ 函数的极值 下页 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义? 如果对于任意x?U(x0)有 f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0))? 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)? 。 x1 x2 x3 x4 x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 观察与思考： 观察极值与切线的关系. 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ?(x0)?0. 驻点 使导数f ?(x)为零的点(方程f ?(x)?0的实根)称为函数f(x)的驻点. 定理2(必要条件) 下页 讨论： 极值点是否一定是驻点？ x1 x2 x3 x4 x5 可疑的极值点 不可导点 驻点. 驻点是否一定是极值点？不可导点呢？ 考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点. 可疑的极值点 不可导点 驻点. 讨论： 观察与思考： (1)观察曲线的升降与极值之间的关系. x1 x2 x3 x4 x5 但不一定极值点 设函数f(x)在x0处连续? 且在(x0-r? x0)?(x0? x0+r)内可导? (1)如果在(x0-r ? x0)内f ?(x)?0? 在(x0? x0+r)内f ?(x)?0? 那么函数f(x)在x0处取得极大值? (2)如果在(x0-r ? x0)内f ?(x)0? 在(x0? x0+r)内f ?(x)0? 那么函数f(x)在x0处取得极小值? (3)如果在(x0-r ? x0)及(x0? x0+r)内 f ?(x)的符号相同? 那么函数f(x)在x0处没有极值? 下页 定理3(第一充分条件) x1 x2 x3 x4 x5 左增右减 左减右增 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f ?(x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f ?(x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值. 下页 设函数f(x)在x0处连续? 且在(x0-r? x0)?(x0? x0+r)内可导? (1)如果在(x0-r ? x0)内f ?(x)?0? 在(x0? x0+r)内f ?(x)?0? 那么函数f(x)在x0处取得极大值? (2)如果在(x0-r ? x0)内f ?(x)0? 在(x0? x0+r)内f ?(x)0? 那么函数f(x)在x0处取得极小值? (3)如果在(x0-r ? x0)及(x0? x0+r)内 f ?(x)的符号相同? 那么函数f(x)在x0处没有极值? 定理3(第一充分条件) 左增右减 左减右增 下页 例1 (1)f(x)在(??? ??)内连续? 除x??1外处处可导? 且 解 (3)列表判断 x??1为f(x)的不可导点? 得驻点x?1? (2)令f ?(x)?0? (??? ?1) ?1 (?1? 1) 1 (1? ??) ? 不可导 ? 0 ? x f ?(x) f(x) ↗ 0 ↘ ↗ 定理4(第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f ?(x0)?0? f ??(x0)?0? 那么 (1)当f ??(x0)?0时? 函数f(x)在x0处取得极大值? (2)当f ??(x0)?0时? 函数f(x)在x0处取得极小值. 应注意的问题： 如果f ?(x0)?0? f ??(x0)?0? 则定理3不能应用? 但不能由此说明f (x0)不是f (x)的极值。 讨论： 函数f(x)?x4? g(x)?x3在点x?0是否有极值？ 下页 例2 求函数f(x)?(x2?1)3?1的极值? 解 f ?(x)?6x(x2?1)2? 令f ?(x)?0? 求得驻点x1??1? x2?0? x3?1?