南京航空航天大学计算方法期末考试.ppt

* 第二章 非线性方程的数值解法 常用方法 1 二分法 2 一般迭代法 3 牛顿迭代法 4 弦截法 根的隔离；误差估计；迭代收敛阶 2 一般迭代法 (1)迭代法 (1) 把（1）等价变换为如下形式 (2) 建立迭代格式 (3) 适当选取初始值x 0 ，递推计算出所需的解。 定理2.2 （非局部收敛定理）如果 在 上连续可微且以下条件满足： 命题2.2 若在区间 内 ，则对任何 ，迭代格式 不收敛。 推论 设 x*= g(x*) ， 若 g(x) 在 x* 附近连续可微且 ，则迭代格式 xk+1= g(xk) 在 x* 附近局部收敛。 (2)迭代法的收敛性 简单地代之以 (3) 迭代法的误差估计 3 牛顿迭代法 其迭代函数为 牛顿迭代法 4 弦截法 弦截法 第三章 线性代数方程组的数值解法 解线性方程组的消去法 解线性方程组的矩阵分解法 3 解线性方程组的迭代法 给定一个线性方程组 求解向量 x。 (1)高斯消去法 1.解线性方程组的消去法 1）消元过程： 对k=1,2, …, n 依次计算 2) 回代过程： 这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法 (2)高斯-若当（Jordan）消去法 高斯-若当（Jordan）消去法 一般公式： 定理 3.1 如果的各阶顺序主子式均不为零，即有 即消去法可行。 推论 若系数矩阵严格对角占优，即有 (3) 选主元素的消去法 主元素的选取通常采用两种方法： 一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。 2 解线性方程组的矩阵分解法 一、 非对称矩阵的三角分解法 矩阵分解法的基本思想是： 可逆下三角矩阵 可逆上三角矩阵 对于给定的线性方程组 （1） 分解 ——解两个三角形方程组。 矩阵的Crout分解的计算公式 (3-12) 注： 3.3.3 对称正定矩阵的三角分解 定义 3.1 若n 阶方矩阵 A 具有性质 且对任何n 维向量 成立 ，则称 A 为对称正定矩阵。 定理3.4 若A 为对称正定矩阵，则 (1) A的k阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D 使得 （3-16） 这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。 (3)有且仅有一个下三角矩阵 ，使 （3-17） 这称为分解矩阵的平方根法。 3 解线性方程组的迭代法 迭代法思想: (1)Ax=b ( 3-1) (2)建立迭代格式 这称为一阶定常迭代格式，M 称为迭代矩阵。 约化便得 从而可建立迭代格式 对 （3-23） 以分量表示即 (1)、Jacob迭代法 雅可比（Jacobi）迭代 则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为 MJ f J 用矩阵表示为 对雅可比迭代格式修改得 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代 f G-S MG-S (2) Gauss-Seidel迭代法 例3.10 分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解 线性方程组 解 相应的迭代公式为 雅可比迭代 高斯-塞德尔迭代 令 取四位小数迭代计算 由雅可比迭代得 由高斯-塞德尔迭代得 定理 3.5 若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵 满足条件 则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。 则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。 定理 3.6