第二节函数的单调性及其极值.ppt

* 一、函数单调性的充分条件 第三章　导数的应用 第二节　函数的单调性及其极值 二、函数的极值及其求法 定理 1　设函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内可微， (1)若当 x ? (a, b)时，f ?(x) 0， 则 f (x) 在(a, b)内单调递增； (2)若当 x ?(a, b)时， f ?(x) 0， 则 f (x) 在(a, b)内单调递减. 一、函数单调性的充分条件 证　设 x1，x2 为(a, b)内的任意两点， 且 x1 x2， 则由拉格朗日中值定理有 其中 x ? (a, b). (1)若当 f ?(x) 0， 则 f ?(x) 0， 于是 因为 x2 – x1 0， 所以 f (x2) – f (x1) 0， 　即当 x2 x1时， f (x2) f (x1)， 可知 f (x) 在 (a, b)内递增. 有 (2)对于 f ?(x) 0 的情形,其证法与(1)的类似. 确定某个函数的单调性的一般步骤是： (1)确定函数的定义域； (2)求出使 f ?(x) = 0 和 f ?(x) 不存在的点， 并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间； (3)确定 f ?(x) 在各个子区间内的符号， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　从而判定出 f (x) 的单调性. 例 1　求函数 f (x) = x3 - 3x 的单调区间． 解 (1)该函数的定义区间为(? ?, ? ?)； (2) f ?(x) = 3x2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)， 令f ?(x) = 0，得 x = - 1，x = 1， 它们将定义区间分为三个子区间： (? ?, - 1)， (- 1, 1)， (1, ? ?)； (3)因为当 x ? (? ?, - 1)时，f ?(x) 0， x ?(?1, 1)时，f ?(x) 0， x ? (1, + ?)时 f ?(x) 0， 所以(? ?, -1)和(1, ? ?)是 f (x) 的递增区间， (-1, 1)是 f (x) 的递减区间. 　　为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格： x (? ?, - 1) (- 1,1) (1, ? ?) f ?(x) ? - ? f (x) 其中箭头 ， 分别分表示函数在指定区间递增和递减. 解 (1)该函数的定义区间为 (? ?，? ?)； . 3 2 5 ) 1 ( 3 2 ) ( ) 2 ( 3 1 3 2 3 1 x x x x x x f - = + - =  - 例 2 此外，显然 x = 0 为 f (x)的不可导点， 分定义区间为三个子区间 (? ?, 0)， 亦可如例 1 那样，以下表表示 f (x) 的单调性： x (? ?, 0) f ?(x) － ? ? f (x) 定义 1　设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有 (1) f (x0) f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值， x0 称为 f (x) 的极大值点； (2) f (x0) f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值， x0 称为 f (x) 的极小值点； 函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　极大值点、极小值点统称为极值点. 二、函数的极值及其求法 　　显然，在图中， x1，x4 为 f (x) 的极大值点， 　　　　 x2，x5 为 f (x) 的极小值点. y = f (x) y x O x1 x2 x3 x4 x5 定理 2 (极值的必要条件) 　　设函数 y = f (x) 在 x0 处可导， 　　　　　　　　　　　　　　　　且 f (x0) 为极值(即 x0 为值点)，则 f ?(x0) = 0. 当x0 ? ?x ?N (x0 , ? ) 时， f (x0 ??x ) - f (x0) 0 (?x ? 0 )， 因此，当 ?x 0 时， 有 当 ?x 0 时， 有