第九章 多元函数微分法及其应用习题课.ppt

第九章 多元函数微分法及其 应用习题课 2、多元复合函数求导法则  3、隐函数的导数 4、多元函数微分学在几何上的应用 二、典型例题 * 一、内容回顾 1、偏导数的定义与计算 求函数 的偏导数 时，只要把 暂时看作常量 而对 求导数； 类似地，可求函数 的偏导数 。 z u v t z u v x y (1)设 和 在点 可导， 在对应点 处可微，则复合函数 在点 处可导，且 (2)设 和 存在偏导数， 在对应点 处可微，则复合函数 在 偏导数存在,且 ①由方程 确定的一元函数 ， 则有： ②由方程 确定二元函数 ， 则有 ： （2）. 由四个变量两个方程 所构成的方程组, 如 确定隐函数两个二元函数 方程组 （1）. 由三个变量两个方程所构成的方程组, 如 确定隐函数两个一元函数 方程组 . , , , y v x v y u x u ? ? ? ? ? ? ? ? 求 ③由方程组所确定的隐函数 4.1 空间曲线的切线与法平面 切线方程： 法平面方程： (1) , 则 在点 处 切线方程： 法平面方程： 切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式， 求出 即可. (3) ,则 在点 处 (2) , 则 在点 处 4.2 曲面的切平面与法线 切平面方程： 法线方程： 切平面方程： 法线方程： (2) , 则 在点 处 (1) , 则 在点 处 5.方向导数与梯度 二元函数 在点 沿方向 的方向导数为 计算公式: 其中 是方向 的方向余弦。 其中 为x 轴到方向 的转角． 函数 在点 处的梯度为一向量: 6. 无条件极值求法步骤： ①求 , 得全部驻点. ②求 , , ③由判别驻点为极值点的条件，验证 的符号, 确定极值点，求出极值。 7. 条件极值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘数法) ③求出极值。 ①构造辅助函数 ②求解 得出 , 就是可能的极值点. 函数 在条件 下的可能极值点: 解： 例1、 求函数 的偏导数. 分析：因为函数 为三元函数，所以，应分别求对 的偏导数。 解：根据复合函数求偏导法则得 例2、设 ,而 , , 求 和 . 例3、 设 , 其中 具有二阶连续偏导数， 求 解： 设 , 则 利用隐函数的求导公式得 解:令 ,则 例4、 设 ,求 . 分析：如果令 , 则由方程 确定了 是