【南京一轮复习】课时9--解三角形.docVIP

第9课时 解三角形 【课前自主探究】 ※考纲链接 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图②)． ◎思维升华： 1．仅仅告诉△ABC，你知道常用结论有哪些？ 2．1． (1) ab?AB?sin Asin B； (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，cos＝sin(3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边． △ABC中，BC=3AB=2，且，则A =__ ______。 答案： 解析：由题意知，，又，， 则，。 2．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为__ ______。 答案：直角三角形解析：由sin2A=sin2B+sin2C知，即。 3．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A= 答案： 解析：由由正弦定理得，的形状是 所以cosA==，所以A=300 4．（2010上海文数改编）若△的三个内角满足，则△的形状是 答案：钝角三角形 解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13，由余弦定理得，所以角C为钝角。 5．如图，A、B两点间隔有一小山，现选定能直接到达点A、B的C点，并测得AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则A、B两点间的距离为________m. ，。 【课堂师生共探】 ※ 经典例题 ○题型一 利用正、余弦定理求长度 例1 （2010·陕西文数）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长. 分析：先利用余弦定理求出，再求出，最后利用正弦定理求出AB的长。 解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6， 由余弦定理得 =，ADC=120°，ADB=60°。 在△ABD中，AD=10，B=45°，ADB=60°，由正弦定理得, AB=. 点评：正、余弦定理解三角形必备的工具，很多题目需要同时用这两个定理才能给出解答。具体归类如下： 变式训练：如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算A、B两点的距离为　　　　m. 答案：50：由题意知∠ABC=30°由正弦定理 ，∴。 ○题型二 利用正、余弦定理求高度 例2如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高． 分析：先利用正弦定理求出BC的长，再由仰角为在求出AB的长。 解：在中，． 由正弦定理得． 所以． 在中，． 点评：求高度的问题主要有以下两种情况： 变式训练：小明欲测一塔的高度，他在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，请帮助小明计算出此塔的高度。 解析：如图所示，过B作BE⊥CD于点E，由题意知在E点测得塔的最大仰角30°.在△BCD中，CD=40，∠BCD=30°，∠DBC=135°， 由正弦定理，得， ∴。 在Rt△BED中，∠BDE=180°135°30°=15°。 ∴BE=BDsin 15°。 在Rt△ABE中，∠AEB=30°，∴AB=BEtan 30°= (米)． 故所求的塔高为米． ○题型三 利用正、余弦定理求角度 例3（2009宁夏海南卷文）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。 分析：只要求出的边长即可，可过D作AB的平行线，构造直角三角形来求。 解：连接DF，作交BE于N，交CF于M．21世纪教育网 ， ， ． 在中，由余弦定理， . 分析：对于实际问题中求角度的问题我们经常是把它转化为一个三角形中求角的问题，只要求出角所在三角形的某些边和角即可。 ※高考新题零距离 （2010·天津高考文16）在中，. （Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求的值。 解析：（1）在 中，根据正弦定理，，于是 （2）解：在中，根据余弦定理，得， 于是=，从而 。 ※典型错误警示 1．在利用正、余弦定理解三角形时，错误主要是对有些条件，如：，左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理，而对有些条件，如过多的关注两角和与差