第五章 非线性方程求根aa.ppt

非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可或缺的内容。 但是，非线性方程的求根一般来说非常复杂。 * 第五章 非线性方程求根 /* Solutions of Nonlinear Equations */ 在相距100m的两个塔之间悬挂一根电缆，允许中间下垂10m。要计算两个塔之间所用电缆的长度，需确定悬链线方程 的参数a 由已知条件得到以下非线性方程： 用解析方法难以求解，必须借助数值方法 代数方程求根 五次以及更高次数的代数方程没有一般的代数解法, 寻找通用公式的希望彻底破灭。因此，需要研究数值方法以求得满足一定精度的近似解 设有一非线性方程： 定义１ (1) 如果有x*使f(x*)=0，则称x*为方程的根，或称之为函数f(x)的零点。 其中f(x)为实变量x的非线性函数． (2) 当f(x)为多项式时, 即方程为 称为n次代数方程. 当f(x)包含指数函数或三角函数等特殊函数时,称为超越方程. (3) 如果f(x)可分解为 则称x*为方程的m重根. 当m=1时称x*为方程的单根. 定理1 设f(x)于[a, b]上连续,若f(a) f(b)0, 则存在着x*∈(a, b)使f(x*)=0, 即f(x)于(a, b)内存在实的零点. 根的分离. 找出有根的区间, 使得在一些较小的区间只有一个根, 这样可获得方程各个根的近似值. 通常采用有哪些信誉好的足球投注网站的方法, 确定根的范围. 从某点x0出发, 选取步长h, 让xi= x0+ih, i=0,1,…,N, 如果有 根据定理1知, 在区间[xi, xi+h]内必有方程f(x)=0的实根. 2. 近似根的精确化. 在有根区间[a,b]内的一点或多点出发，用求根的数值方法, 使得近似根精确化, 直到满足计算精度的要求. 对于非线性实系数方程f(x)=0, 其数值求根方法通常包含以下两个方面: §5.1方程求根的二分法 设[a, b]是方程的有根区间, 则二分法就是将该区间逐步分半, 检查函数值符号的变化, 以确定含根的充分小区间 二分法的具体过程如下： 考察有根区间[a, b], 用中点x0=(a+b)/2将区间分为两半, 并计算函数值f(x0), 如果f(a)f(x0)0, 则有根区间为[a1, b1]= [a, x0], 否则为[a1, b1]= [x0, b]. 于是得到长度缩短一半的含根区间[a1, b1], 即 重复上述过程, 得到一系列含根区间 且满足 计算xk=(ak+bk)/2, 则必然有 (书本P97定理7.2) a b x1 x2 a b When to stop? 或 不能保证 x 的精度 x* ?2 x x* ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛较慢 注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。或用有哪些信誉好的足球投注网站程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) 0 。 例5.1 证明方程x3-x-1=0在[1,2]上 有一个实根x*，并用二分法求这 个根，要求 若要求 需二分区间[1,2]多少次？ 解：设f(x)= x3-x-1，则f(1)=-10，f(2)=50，故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*。又因为 所以当x∈[1,2]时， 即方程在[1,2]上有唯一实根x*。 用二分法 计算结果如表所示。 + - + - + + - - + + 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.3243 1.3263 1.3253 2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3282 1.3282 1.3282 1.3263 1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3204 3243 1.3243 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(xk)的符号 xk bk ak k 此时x9=1.3253满足 可作为x*的近似值 若要求 只需 即可，解得k+1≥19.932，即只需把区间[1,2]二分20次就能满足精度要求。 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g (x) 的不动点 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g