函数的极值与导数(明天用的).pptVIP

函数的极值与导数 从化三中 * 单调性与导数的关系： 设函数y=f(x)在某个区间内可导， 如果f ′(x)0，则f(x)为增函数； 如果f ′(x)0，则f(x)为减函数； 如果f ′(x)=0，则f(x)为常数函数； 复习: 观察图像： 函数f(x)在a点的导数是多少？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 知识回顾 利用函数的导数 讨论函数 的单调性． 解： 令 ，解得 或 ， 当 时， 是增函数； 因此， 当 时， 是增函数； 再令 ，解得 ， 当 时， 是减函数； 因此， 分析函数 在 附近的函数值分别于与 的关系. 函数的极值定义 使函数取得极值的点x0称为极值点 （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 注意： o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值； 观察与思考：极值与导数有何关系？ 对于可导函数, 若x0是极值点,则 f’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点. o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 导数为0的点不一定是极值点； 若极值点处的导数存在，则一定为0 例、求函数 的极值． 例题讲解 解： 当x变化时， 的变化情况如下表： + 0 — 0 + 极大值 y 2 (-2,2) -2 x 极小值 令 ，解得 当 时，y有极大值，并且 当 时，y有极小值，并且 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值； ②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 ② 2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 D 练习： *