备战2014高考数学-高频考点归类分析(真题为例)：关于线线、线面及其面面垂直的问题.docVIP

关于线线、线面及面面垂直的问题典型例题： 例1. （2012年浙江省理5分）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【 】 A．存在某个位置，使得直线与直线垂直 B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．存在某个位置，使得直线与直线垂直 D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 【答案】B。 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系。 【解析】 如图，⊥，⊥，依题意，，，==， 。 A，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则∵⊥，∴⊥平面，从而⊥，这与已知矛盾，排除A； B，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，平面⊥平面。取中点，连接，则⊥，∴∠就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故B正确； C，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，从而平面⊥平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除C； D，由上所述，可排除D。 故选 B。 例2. （2012年全国课标卷文12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 【答案】解：(Ｉ)证明：∵由题设，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°， ∴BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1。 又∵DC1平面ACC1A1，∴DC1⊥BC。 ∵由题设，AC=BC，=AA1，D是棱AA1的中点， ∴∠A1DC1=∠ADC=450，∴∠CDC=900，即DC1⊥DC。 又∵DCBC=C，∴DC1⊥平面BDC。 又∵DC1平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC。 （Ⅱ）设棱锥B－DACC1的体积为V1，，则。 又∵三棱柱ABC－A1B1C1的体积， ∴。 ∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1：1。 【考点】直三棱柱的性质，平面和平面的位置关系，棱柱和棱锥的体积。 【解析】(Ｉ)要证明平面BDC1⊥平面BDC，只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可。由由题设可证得DC1⊥BC，DC1⊥DC，由DCBC=C得DC1⊥平面BDC，而DC1平面BDC1，因此平面BDC1⊥平面BDC。 （Ⅱ）求出三棱柱ABC－A1B1C1的体积和棱锥B－DACC1的体积即可求得结果。 例3. （2012年北京市理14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2. （1）求证：A1C⊥平面BCDE； （2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； （3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由 【答案】解：（1）∵CD⊥DE，A1E⊥DE，，∴DE⊥平面A1CD。 又∵A1C平面A1CD ，∴A1C⊥DE。 又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE。 （2）如图建立空间直角坐标系，则[来源:Z+xx+k.Com] B（0，3，0），C（0，0，0），D（－2，0，0），E（－2。2。0），A1（0，0，）。 ∴。 设平面A1BE法向量为， 则，即，∴。 ∴ 又∵M是A1D的中点，∴M（－1，0，）。∴。 设CM与平面A1BE法向量所成角为，则 ∴。 ∴CM与平面A1BE所成角为。 （3）设线段BC上点P，设P点坐标为，则。 则 设平面A1DP法向量为 则 ∴。∴。 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，即 ，解得。与不符。 ∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。 【考点】线面垂直的判定，线面角的计算，两平面垂直的条件。 【解析】（1）根据线面垂直的判定进行判定。 （2）建立空间直角坐标系可易解决。 （3）用反证法，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，得出与已知相矛盾的结论即可。 例4. （2012年北京市文14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。 求证：DE∥平面A1CB； 求证：A1F⊥BE； 线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。 【答案】解：（1）证明：∵在图1 Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，[来源:学_科_网Z_X_X_K]