高等数学课件3-5函数的极值.ppt

$3-5函数的极值及其求法 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、小结 Brief summary * 函数的极大值与极小值统称为极值(extreme value),使函数取得极值的点称为极值点(extreme point)(该点位于某个开区间内部）. 定义1 (local minimum). (local maximum); 注1.极值概念是个局部性概念，即在局部小范围内 是最值，而在整个定义域上不一定是最值。如上图 极小值 极大值 注2.曲线在极值点处若存在切线，则切线一定是水 平的。反之，曲线上有水平切线的地方，不一定是 极值点，如： 定理1(必要条件necessary condition ) 证 不妨设 由定义， 时， 0； 因此， 时， =0. ($1-4Th2) 注意1: 例如, 定义2 ) ( ) 0 ) ( ( 的驻点或临界点（稳定点） 　　(critical point) 做函数 叫 的实根 即方程 使导数为零的点 x x = 几何意义：若y=f(x)在点 取极值，且曲线在 处有不垂直于x轴的切线，则该切线 平行于x轴。 注意3:驻点与导数不存在但函数有定义的点为 极值可能点。 注意2:极值点未必都是驻点 0 定理2(第一充分条件)(sufficient condition) (是极值点情形) (以上结论可由函数的单调性和极值的定义证出.) 注：若 的某邻域内保号，则 点 例1(P187) 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例2(P189) 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 定理3(第二充分条件) 证 同理可证(2). 数 号 够 邻 内 时 时 例3(补充） 解 图形如下 注意:由Th3,若 求极值的步骤: 例4（补充） 确定 的单调区间，并求极值. 解 当 不存在. 不存在 极大值 极小值 列表讨论 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点（可疑极值点）. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) * * 设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定. (1)如果有而, 有，则在 处取得极大值. (2)如果有而 有，则在 处取得极小值. (3)如果当及时, 符号相同,则在 处无极值. 设在处具有二阶导数, 且, ,那末 (1)当时, 函数在处取得极大值; (2)当时, 函数在处取得极小值. 所以，函数在处取得极大值． 如果为的极小值点，那么必存在的某邻域，在此邻域内，在 的左侧下降，而在 的右侧上升. 当时， 于是为的极小值点 当时， 当时， 因而在的两侧都不单调. 填空题： 极值反映的是函数的________性质. 若函数在可导，则它在点处取 得极值的必要条件为___________. 函数的极值点为________；的极值为__________. 已知函数当时，小值；当，大值. 二、求下列函数的极值： ； ； 方程所确定的函数； . 证明题： 如果满足条，则函数无极值. 2、设是有连续的二阶导数的偶函数， 则为的极值点. 一、1、局部； 2、； 3、(1,2),无； 4、; 二、1、极大值,极小值 ； 2、极大值； 3、极小值； 4、极小值.