等差数列、等比数列的综合应用.ppt

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科） 等差数列、等比数列的综合应用 等差、等比数列的性质 等差、等比数列的综合应用 等差等比数列的求和问题 名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科） 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求： (1)p，q的值；(2)数列{xn}的前n项的和Sn的公式． 【思路分析】　本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力． 5．已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若数列{}前n项和为Tn，问Tn的最小正整数n是多少？ 1．递推数列{an}在复习时注意掌握难度，以“注重通性通法，淡化特殊技巧”为原则，会求an＋1＝an＋f(n)、an＋1＝pan＋q，(p≠1，q≠0)形式递推数列的通项公式． 2．子数列、分组数列与等差、等比数列的综合． 3．数列、函数、不等式三者综合所呈现的代数推理题． 1．等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化；灵活地运用通项公式和前n项和公式解题是高考考查的重点． 2．从等差数列中按某种规律，抽取某些项，依次排列，组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会此类题． 3．等差、等比数列综合题中的“转化为等差、等比数列的通项公式和前n项和公式”极其重要． 【解析】　(1)由x1＝3，得2p＋q＝3， 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得 3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1. (2)Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋ . 1．在等比数列{an}中，an0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为 2， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式．解析：(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25， 又an0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2， ∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3a5，∴a3＝4，a5＝1， ∴q＝，a1＝16，∴an＝16×()n－1＝25－n (2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1. ∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝. 　已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x)＝6x－2.数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m. 【思路分析】　应用点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上可以求出Sn关于n的函数表达式，接下去就顺理成章了． 【解析】　(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f ′(x)＝2ax＋b 由f ′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x 又点(n，Sn)(n∈N*) 均在函数y＝f(x)的图象上，得Sn＝3n2－2n 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5 所以an＝6n－5(n∈N*) (2)由(1)得 bn＝＝＝(－) 故Tn＝i＝×[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝ (1－) 因此使得 (1－)(n∈N*)成立的m必须且仅须满足≤ 即m≥10.故满足要求的最小正整数m为10. 2．(2010山东省)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)由题意可知：Sn＝3n2－2n 当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5 又因为a1＝S1＝1，所以an＝6n－5 (2)bn＝＝＝( －) 所以Tn＝(1－ ＋－＋…＋－)＝(1－)＝ (广州一模文)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{}是首项为1，公差为1的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，若不等式i≥对任意n∈N*都成立，求实数L的取值范围． 【