等差数列与等比数列的通项(new).ppt

* * ∵a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d,… ∴a2=a1+d, ∴ a3=a2+d=a1+2d, ∴ a4=a3+d=a1+3d, …… ∴ an=an-1+d=a1+(n-1)d. 等差数列的通项公式 一，等差数列的通项公式 设｛an ｝是公差为d的等差数列，由等差数列的定义an+1-an=d,得： an=a1+(n-1)d 上式就是等差数列的通项公式 二，等比数列的通项公式 设｛an ｝是公比为的等比数列，由等比数列的定义 ，得： 上式就是等比数列的通项公式 例：(1)求等差数列8，5，2，…的第20项. (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项？ 如果是，是第几项？ 练习 (1)求等差数列3,7,11，…的第4项与 第 10项. (2)100是不是等差数列2，9，16，… 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 在等差数列{an}中，已知 a5=10,a12=31求首项a1与公差d. 例 解：由题意可知 a1+4d=10. a1+11d=31. 解得 ｛ a1= ﹣2 d=3 即此等差数列的首项是-2，公差是3. 例：一个等比数列的第８项与第１１项分别是３2与４，求它的第３项。 练习 1、等比数列｛an ｝中，（1）a4=27, q=-3,求an及a7 （2）a2=18, a4=8, 求a1与q 2、等比数列｛an｝中，若a1+a2=324,a3+a4=36,求q与an 思考:等差数列{an}中，公差为d，则an与ak（n，k∈N且nk)有何关系？ 解：∵ an＝a1＋（n－1） d ① ak＝a1＋（k－1）d ② ① －②得： an－ak＝（n－k)d ∴ an = ak+（n－k)d 等差数列通项公式的推广 等比数列通项公式的推广 思考:等比数列{an}中，公比为q，则an与ak（n，k∈N且nk)有何关系？ 在等差数列{an}中，已知 a5=10,a12=31求首项a1与公差d. 例 即此等差数列的首项是-2，公差是3. 解：由题意可知 a12=a5+7d 解得d=3 再由a5=a1+4d得 a1=-2 例：一个等比数列的第８项与第１１项分别是３2与４，求它的第３项。 练习 ： 在等差数列{an}中，已知a4=10,a7=19, 求a1与d. 等差数列{an}中，已知a3=9,a9=3,求a12. 进一步推广： 例:三个数成等比数列,其积为512,若第一数与第三数各减去2则这三个数成等差数列,求这三个数. 例: 等差数列中：若给定连续三项之和，则三项可设为 　　　　　　a-d, a, a+d 等比数列中：若给定连续三项之积，则三项可设为 　　　　　　a／q, a, aq 所以用待定系数法即可得到通项公式 小结： 求某些非等差、非等比数列的通项公式时，可以根据这些数列的结构特点，利用换元法、待定系数法等方法，构造等差或等比的新数列，从而非等差、非等比数列转化为等差、等比数列求解。 四、例题 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一次分裂为两个），经过3小时，这种细菌一共可繁殖成几个？ 例1.某种储蓄以一年为一个计息期限，以复利计息。年利率是2.25%,若某人存入50000元,存满10年取出所有的存款，此人共可得多少元？ 解：设ai为此人第i年的存款数，则： a1=50000 ， a2=50000(1+2.25%) a3= a2 (1+2.25%)= a1 (1+2.25%)2 …… 所以这是一个以50000为首项，以(1+2.25%)为公比的等比数列。存满10年的存款数即为第11年的存款数，即为： 例2、若国民生产总值从今年起每年递增8%，将第1年（即今年），第2年，……，第n年初的国民生产总值依次排列成数列a1，a2,a3, …,an,求第10年初的国民生产总值比第1年初所增长的百分数。