第二章 非线性方程的数值解法1.ppt

代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次代数方程在复数域内一定有 个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪阿贝尔才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值计算方法求得满足一定精度要求的根的近似解。 第二章 非线性方程的数值解法 本章主要内容： 1、二分法 2、不动点迭代的构造及其收敛性判定 3、Newton和Steffensen迭代 4、割线法 5、非线性方程组的迭代解法 求方程 几何意义 基本定理 如果函数 在 上连续，且 则至少有一个数 使得 。若同时 的一阶导数 在 内存在且保持定号，即 (或 )则这样的 在 内唯一。 a b x* §1 二分法 原理：若 f ?C[a, b]，且 f (a) · f (b) 0，则 f 在 (a, b) 上至少有一实根。 基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步有哪些信誉好的足球投注网站有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求 出满足给定精度的根 的近似值。 以此类推 终止法则？ a b x1 x2 a b When to stop? 不能保证 x 的精度 x* ?2 x x* 或 While(|a-b|eps) x=(a+b)/2 计算f(x) 若(|f(x)|eps) x为解 若f(x)*f(b)0 ，含根区间为[x,b]:=[a,b] 否则，含根区间为[a,x] :=[a,b] End while 算法 3、 由二分法的过程可知： 4、对分次数的计算公式： 1、 2、 令 误差 分析 解： 例1：用二分法求方程 在区间 上的根，误差限为 ，问至少需对分多少次？ ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ②收敛慢 优点 缺点 §2 迭代法 f (x) = 0 x = g (x)（迭代函数） 等价变换 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 看起来很简单，令人有点不相信，那么问题是什么呢？ 如何判定这种方法是收敛的呢？ f (x) 的根 g (x) 的不动点 一、不动点迭代 x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y=g(x) y=g(x) y=g(x) y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 几何意义 例2： 已知方程 在 上有一个根（正根） 下面选取5种迭代格式： 1、 即 2、 即 3、 即 4、 即 5、 即 取 计算结果如下： 法1 法4 法3 法2 法5 Lipschitz条件成立的充分条件 考虑方程 x = g(x), 若 ( I ) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b]； ( II ) ? 0 ? L 1 使得 对 ? x?[a, b] 成立。 则任取 x0?[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 收敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式： ? ? ( k = 1, 2, … ) 且存在极限 连续时 证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？ 令 有根 ② 不动点唯一？ 反证：若不然，设还有 ，则 在 和 之间。 而 ③ 当k ? ? 时， xk 收敛到 x* ？ ? ? ? L 越 收敛越快 可用 来控制收敛精度 ④ ? ⑤ ? ⑥ ? 小 注：条件 ( II ) 可改为 在[a, b] 满足Lipschitz条件,定理结论仍然成立(定理2.3’)。 算