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第十三章 时间序列分析 本章基本内容包括 时间序列简介 时间序列趋势的分解 指数平滑模型 时间序列的一些基本概念和相关图 ARIMA模型及性质 ARIMA模型的拟合 第一节 简介 一、横截面数据与时间序列数据 人们对统计数据往往可以根据其特点从两个方面来切入，以简化分析过程。一个是研究所谓横截面(cross section)数据，也就是对大体上同时，或者和时间无关的不同对象的观测值组成的数据。 另一个称为时间序列(time series)数据，也就是由同一对象在不同时间的观测值形成的数据。如…… 前面讨论的模型多是和横截面数据有关。本章将讨论时间序列数据的统计分析。 横截面数据也常称为变量的一个简单随机样本，也即假设每个数据都是来自于总体分布的一个取值，且它们之间是相互独立的(独立同分布)。 而时间序列的最大特点是观测值并不独立。时间序列的一个目的是用变量过去的观测值来预测同一变量的未来值。 下面看一个时间序列的数据例子。 例11.1. 某企业从1990年1月到2002年12月的月销售数据(单位：百万元)储存于SPSS数据文件tssales.sav中。 在该数据文件中，除了销售额变量“sales”以外，还有三个时间变量“year”、“month”和“date”。事实上这三个变量是我们后期通过SPSS操作自动加上去的。 选择SPSS菜单中的“Data = Define Dates”选项，在弹出窗口的“Cases Are”下方选择“Years, months”，再在右侧“First Case Is”下的空格输入起始时间，即可自动生成该例中的三个时间变量。 当然，根据数据记录的背景不同和不同的需要，我们也可以选择“Days”、“Weeks” 等其他形式的时间变量。 作为时间序列数据的一个基本要求，其数据都是等间隔记录的，比如每天或每月记录一个数据。 在金融时间序列(比如股票价格)，每周的记录时间只有5天(周一至周五)，此时我们也把它当成是等间隔记录的，此时记录的时间间隔是“每个工作日”。 我们接下来看看例11.1的销售数据的时间序列图(TSplot)。 从图11.1可以看出：该企业销售额总的趋势是增长的；但增长并不是单调上升的，有涨有落。 更进一步，这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。 当然，除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机因素的作用。 这些都说明了这个数据前后之间不是独立而是相关的。 上述图形是选择SPSS菜单中的“Graphs = Sequences”选项，在窗口中把“sales”作为画图变量“Variables”，而把“year”作为横坐标“Time Axis Labels”而得到的。在成图后我们还把时间标值的间隔和格式做了修改。 二、时间序列分析的目的 在例11.1中，我们希望能够从这些历史销售数据出发，找出其中的一些规律，并且建立可以对未来的销售额进行预测的时间序列模型，这一统计过程就是时间序列分析。 事实上，时间序列分析也是一种回归。 回归分析的目的是建立应变量和自变量之间关系的模型；并且可以用自变量来对应变量进行预测。 而在时间序列分析中，应变量为变量未来的可能值，而用来预测的自变量中就包含该变量的一系列历史观测值。 时间序列的自变量也可能包含随着时间度量的独立变量。 三、指数平滑模型 时间序列分析的一个简单和常用的预测模型叫做指数平滑(exponential smoothing)模型。 指数平滑只能用于纯粹时间序列的情况，而不能用于含有独立变量时间序列的因果关系的研究。 指数平滑的原理为：利用过去观测值的加权平均来预测未来的观测值(这个过程称为平滑)，且离现在越近的观测值要给以越重的权。 而“指数”意味着：按历史观测值记录时间离现在的距离远近，其上的权数按指数速度递减。 这一距离通常用数据间隔位置差，也称步数(lag)来表示。 若记时刻 t 的观测值为 Xt 时刻 t 的指数平滑记为 Yt 。 指数平滑的数学模型为 Yt = aXt+a(1-a)Xt -1+a(1-a)2Xt -2+ … +a(1-a)t-1X1, (11.1) 其中0a1为权重指数。a 越大，表示在加权时给予当前观测值的权重越大，相应地，给予过去观测值的权重就越小。 模型(11.1)还可改写为 Yt = a Xt + (1-a)Yt -1 , t = 2, 3, … (11.2) 容易看出，经过这样的改写，模型(11.2)不仅可以用来计算时间 t≤N 的指数平滑，还可对将来时刻进行预测，即用 Yt 预测 Xt ，其中t N 。见图11.2，其中取a = 0.4。 指数平滑的SPSS操作 —— 选择菜单中的“Analyze = Time Serie