D2_7单调性与极值.ppt

第七节 一、 函数单调性的判别法 例1. 确定函数 例2. 二、函数的极值及其求法 注意: 注意: 定理 2.12(极值第一判别法) 例3. 求 例4. 求函数 定理2.13 (极值第二判别法) 例5. 求函数 三、函数在闭区间上的最大值与最小值 例6. 求 四、应用问题举例 例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 内容小结 3.连续函数的最值 一、函数单调性的判别法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的极值及其求法 函数的单调性与极值 第二章 三、函数在闭区间上的最大值与最小值 定理2.10 设函数 证: 设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 上单调递增. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2.3: (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极大值与极小值 统称为极值 . 函数的极值是函数的局部性质. 例如 为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为极大点 为极小点 不是极值点 驻点不一定是极值点． 定理2.11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 驻点. 邻域内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 不变号 , 求函数极值的一般步骤：P68-69. 可导: 驻点 极值可疑点 不可导:不可导点 极值点 不是极值点 极值点 不是极值点 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得 3) 列表判别 是极小点， 其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最大值和最小值 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 实际问题中，在一定条件下，往往要使“材料最省”，“效率最高”，“性能最好”，“进程最快”等，可归结为求最大（小）值． 实际问题中，驻点就是最值点． ( k 为某一常数 ) AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 解: 设 则 令 得 又 所以 为唯一的 极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小点 , 问 Km , 公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 清楚(视角? 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m , 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则 令 得驻点 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 唯一, 驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 问观察者在距墙多远处看图才最 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 由负变正 为极小值 过 不变