计算方法 第1章 绪 论.ppt

* 减小舍入误差影响的几个原则： 1.避免两个相近的数做减法 两个具有 个有效数字的相近数相减后， 常常损失有效数字。例如在三位有效数字计算机 上求解方程 一个根为 有三位有效数字。 而另一个根为 只有一位有效数字。 方程 的改进求根公式： 当 很小时，用下面近似公式计算 例 2.防止“大数吃小数” 计算 在五位有效数字计算机上，由于加减法要对齐小数点， 导致“大数吃小数”。 因此，应该小数相加后， 再与大数相加： 3.避免小数做除数或大数做乘数 例如， 若 则绝对误差 比 增大 倍。 当 时， 有可能溢出！ 即为所求。 次乘法和 例如，直接逐项求和计算 若令 ， 则有递推公式（秦九韶算法，霍纳算法）： 需 次乘法， 次加法。 4.巧用等价公式 减少运算次数 需要 次加法。 由于 则递归算法如下： 1. 2. 计算积分 解： 算出 由 计算出 由 5.选择稳定的算法（稳定性：舍入误差的积累影响不大) 设 的近似值为 ，然后按方法1计算 的近似值 。如果最初计算时误差为 递推过程的舍入误差不记，并记 ，则有 舍入误差 放大了 倍，因此是数值不稳定的。 按方法2计算时， 记初始误差为 ，则有 因此公式2是数值稳定的。 1.2 向量与矩阵的范数 实数或复数的大小由非负实数 度量。 （2）齐次性 （3）三角不等式 注意到 满足以下三个条件： （1）非负性 当且仅当 时 向量和矩阵的范数：向量和矩阵的“长度”或“大小”。 科学计算中离不开矩阵和向量的运算。运算过程的 收敛、稳定、误差等问题都基于“距离”、“长度”、 “大小”的概念，都用范数来描述。 1.2.1 向量范数 （1）非负性 并且当且仅当 时 （2）齐次性 （3）三角不等式 则称函数 为 上的一个向量范数． 以及任意复（实）常数 该函数满足 （或 ）上的一个非负 ，若对任意向量 和 定义在 实值函数，记为 定义1.1 （或 记任意ｎ维向量 ( 为向量 的转置）， 常用的向量范数有 (1-1) (1-2) ( 为向量 的共轭转置） (1-3) (1-4) 表示 的模．上述四种范数分别称为１，2，∞范数和p-范数 前面三种范数为p-范数当ｐ＝１，2，∞时的特例。 例如，当 时， 。事实上， 两边开 次方得 由于 故 容易验证以上三种范数均满足范数定义中的三个条件。 下面我们分析一下向量的１，2和∞-范数的几何意义， 以 为例。 给定任意一种向量范数 都可以定义一种加权范数 加权的1-范数为： 加权的2-范数为： 和任意非奇异矩阵 例如对于 和 例 对任给 ,试问如下实值函数是否构成 向量范数？ 答：1. 不满足非负性条件， 3.不满足齐次性条件； 4. 满足加权向量范数的定义，故构成向量范数。 2.不满足非负性条件，例如取 例如取 都不是向量范数！ 例：求向量 的１，2和∞-范数。 解： （向量范数的等价性定理）设 和 为 上的任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的正常数 c1和c2，使得下面的不等式成立 （1-6） 并称 和 为 上的等价范数。 定理1.1 1. 矩阵范数 （2）齐次性 （3）三角不等式 则称函数 为 上的一个矩阵范数。 以及任意复常数 对任意矩阵 和 上的一个非负实值函数，记为 ，若该函数满足以下条件： 定义在 （1）非负性 当且仅当 时 0 3 A （4）相容性 定义1.2 （1-7） (1-8) 显然上述两个函数均满足矩阵范数定义中的（1）—（4） 我们分别称由（1-7）和（1-8）所定义的范数为矩阵的 -范数和Frobenius范数（简称F-范数）． 2．算子范数 (1-9) 则 是一种矩阵范数,