59一类含参数不等式恒成立问题的研究.doc

59一类含参数不等式恒成立问题的研究 郑英华 山东省栖霞市第四中学 在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数、方程、向量、导数、解析几何等知识综合在一起，演绎出一道道设计新颖，五光十色的题目。这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措。这些题目从解题目标上看，基本上有三种：求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立。本文旨在研究恒成立中一类的问题。 问题的提出 对于“任意ｘ∈U，（U=［m,n］下同），af(x)或af(x)恒成立，求a的取值范围”这类问题，不少学生认为“a＞f(x)或af(x)对任意x∈[m,n]恒成立”可转化为：对任意x∈[m,n],af(x)恒成立（1）或对任意x∈[m,n],af(x)恒成立（2），其实这种转化时不等价的。 问题的剖析 “任意x∈U,af(x)或ag(x)恒成立”除了上述两种情况外，还可能有第三种情况：对于U中的部分元素x,af(x)(ag(x))成立，其余所有的x使ag(x)(af(x))恒成立，即“存在x∈A（A是U的非空真子集），af(x)(a g(x))恒成立且对任意x∈CUA时，ag(x)(af(x))恒成立（3）。故所提问题的解应是（1）、（2）、（3）的并集。 不妨设对于x∈U,y=f(x)的值域为[t1,t2],y=g(x)的值域为[t3,t4]则（1）等价a[f(x)]max ， 推出at2 ；(2)等价a[g(x)]min ，推出at3；若t3≤t2,则对于是否有适合（3）的解，可在同一直角坐标系下做出y=f(x),y=g(x)以及y=a的图像，利用数形结合判断之。若t3﹥t2则（1）、（2）的并集是R，故a∈R。 应用举例 例：已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，当x∈[-1,0]时，af(x)或ag(x)恒成立，求实数a的取值范围。 解：由题意知 对任意x∈[-1,0],af(x)恒成立（1）或对任意x∈[-1,0],ag(x)恒成立（2）或对存在x∈A（A是U的非空真子集），af(x)(a g(x))恒成立且对任意x∈CUA 有ag(x)(af(x))恒成立（3）。 易知函数f(x)=3x 和g(x)=2x在闭区间[-1,0]上都是增函数。 又f(x)∈[１／３,1]，g(x) ∈[１／３,1]，由（１）等价a[f(x)]max推出a１；由（２）等价a[g(x)]min ，推出a１／２；当１／２≤ａ≤１时，判断是否有符合条件（３）的集合Ａ。 若有，则此时ａ的值就符合题意；否则不符合。 在同一平面直角坐标系下分别作出f(x)=3x，g(x)=2x，（x∈[-1,0]）和ｙ＝ａ的图像，不难发现，在区间［－１,０］上f(x)=3x的图像总在g(x)=2x的下方，当且仅当ｘ＝０时，ｆ（０）＝ｇ（０）＝１． 如果ａ＝１／２，如图所示，不妨设ｙ＝ａ与ｙ＝f(x)的图像交点横坐标是ｘ１，af(x)对于x∈[-1,ｂ]（－１＜ｂ＜ｘ１﹚成立且ag(x)对于x∈[ｂ,０]恒成立；af(x)对ｘ＝－１时成立，且ag(x)对于x∈[-1,０] 恒成立.所以符合（３）的Ａ的个数有无数个，因此ａ＝１／２符合。 当１／２﹤ａ﹤１时，不妨设ｙ＝ａ与g(x)=2x、f(x)=3x的图像交点横坐标是ｘ２、ｘ３，设ｘ２﹤ｃ﹤ｘ３．则有，“af(x)对于x∈[-1, ｘ２] 成立且ag(x)对于x∈[ｘ２　,０] 恒成立”；“ af(x)对于x∈[-1, ｃ] 成立且ag(x)对于x∈[ｃ　,０] 恒成立”。所以符合（３）的Ａ有无数个，因此　?＜ａ＜１符合　 若ａ＝１，符合（３）的Ａ不存在。故ａ＝１不符合。 有①、②、③得　ａ≠１ 几点思考 若题目中ｙ＝f(x)和ｙ＝ｇ（ｘ）的图像不易获得，则可以结合两个函数的单调性、值域及对定义域里同一个变量ｘ来比较f(x)和g(x)的大小关系，以曲线或直线近视替代其图像，数形结合来求解。 上例中若将条件x∈[-1,０]改为“x∈[-1,０）”，其他条件不变，则ａ∈Ｒ。实际上若在区间［ｍ，ｎ］上ｙ＝f(x)的图像总在ｙ＝ｇ（ｘ）的下方，且ｙ＝f(x) 和ｙ＝ｇ（ｘ）均为增函数，af(x)或ag(x)对任意x∈［ｍ，ｎ］恒成立时，ａ∈Ｒ。 如果将上例中“g(x)=2x、f(x)=3x”改为“f(x)=2x、g(x)=3x”，其它条件不变，符合（3）的a不存在，故此时a的范围是a＞1或a＜1/3。 实际上在闭区间［ｍ，ｎ］上，若ｙ＝f(x)的图像总在y=g(x)的上方，y=f(x)和y=g(x)均为增函数，af(x)或ag(x)对任意x∈［ｍ，ｎ］恒成立时，则不存在符合条件的（3）的a ，此时a的范围是a＞f(n)或a＜g(n)。 4、ｙ＝f(x)和y=g(x)均为减函数，或一增一减时，可结合它们的值