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例谈含参数不等式恒成立问题的常用方法 （430200）武汉江夏一中 陈 勇 含参数不等式恒成立问题是高中数学中一类结构新颖、综合性较强的开放性问题。此类问题如何解决？是否有章可循？本文就此提出一些常用方法供大家探讨。 一 判别式法 此法适用于解决含参变数的一元二次型不等式在实数集R上恒成立的问题。主要借助于以下结论： 结论1： 在R上恒成立或； 结论2： 在时恒成立或. 若函数 f(x) = +log1/3()的定义域为实数集R，求实数k的取值范围。 解： f(x) 的定义域为实数集R在时恒成立. (1)式在时恒成立k=0或 (2)式在时恒成立 综合（3）（4）得所求实数k的取值范围是. 二 构造函数法 利用不等式与函数的联系构造一相关函数，然后利用恒成立的意义结合函数的性质解决问题的方法 这里给出一个易证的结论： 若函数f(x)在区间I上有最大值或最小值，则： A f(x)在时恒成立A. A f(x)在时恒成立A. 设函数f(x)=其中a是实数，n是任意给定的自然数且n,如果当时，f(x)有意义。求实数a的取值范围. 解： f(x)在上有意义在时恒成立在时恒成立（1） 设g(x)= 则 (k=1,2 ,,n-1) 在时是关于x的减函数，从而知g(x)是上的增函数 故=(1)= 又n是给定的自然数，故由（1）知所求实数k的取值范围是 三 特殊值法 通过取特殊值或极端情况等方式将问题特殊化，先得到不等式恒成立的必要条件，再证明所得到的条件也是充分条件，从而解决问题的方法. 若不等式对于一切自然数n恒成立，求自然数的最大值. 解：令n=1 则有 得 此时自然数的最大值为25； 令n=2 则有 得 此时自然数的最大值为26； 由此推测自然数的最大值为25. 下面用数学归纳法予以证明： 当n=1时，由上知结论成立； 假设当时结论成立，即有 则当时，有 =+ + 而 故 从而 这说明当时结论也成立. 由（1）（2）知：对一切自然数n结论成立. 故所求自然数的最大值是25. 注：若令=则可证是增函数，从而可用构造函数法求解. 四 换元法 根据问题的特点，引入一个或几个新变量代替原式中的量或式子将问题转化为二次方程根的分布问题或用三角换元处理不等式恒成立问题的方法（运用此法时要注意换元后要确定好新元的取值范围，使新命题与原命题等价） 求使不等式组 对任何实数恒成立的实数m的的取值范围 解： （2）式可变形为 又对任何恒成立 故（2）对任何实数恒成立 在条件（3）下，（1）式可化为： 设 则由知 故上式左边可设为： 于是，（1）对任何实数恒成立当时恒成立或 或 故所求实数m的的取值范围是 五 数形结合法 改变观察和思考的角度，数形结合解决问题的方法 求证：对每个满足的实数,使恒成立的唯一实数对是 证明：当时恒成立 当时恒成立 以点、为圆心,半径为1分别作圆、圆， 记圆上以、为端点的位于第一象限的弧为， 即为函数的图像 记圆上以、为端点的位于第一、四象限的弧为， 即为函数的图像 如下图所示： 而函数 的图像是一条直线段 易知，连接的两端的线段MN： 与弧相切于点 故函数 的图像只能与直线段MN重合,从而知使不等式 恒成立的唯一实数对是 通过以上几例可以看出：只要我们充分理解不等式恒成立的意义，利用不等式、方程、函数三者之间的密切联系，运用等价转化这一基本策略来解决不等式恒成立的问题是十分有效的，也是有章可循的。 第 5 页 共 5 页