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解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法 天津四中 李 晖 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想： 即一般的，若函数在定义域为D，则当x∈D时，有恒成立；恒成立.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 例一 已知函数. ①求的反函数; ②若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围. 分析：本题的第二问将不等式转化成为关于t的一次函数在恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？ 【解析】 ①略解 ②由题设有,∴, 即对于恒成立. 显然,a≠-1 令,由可知 则对于恒成立. 由于是关于t的一次函数.（在的条件下表示一条线段，只要线段的两个端点在x轴上方就可以保证恒成立） ∴ 例二 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有 恒成立，求实数m的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0在给定区间[a，b]上恒成立问题可以转化成为在[a，b]上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由得到： 因为为奇函数， 故有恒成立， 又因为为R减函数， 从而有对恒成立 设，则对于恒成立， 在设函数,对称轴为. ①当时，， 即，又 ∴(如图1) ②当，即时, ,即, ∴,又, ∴(如图2) ③当时，恒成立. ∴(如图3) 故由①②③可知：. 例三 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数； (2)若对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2＞0对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解． 【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ① 令x=y=0f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x) (2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数， 所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数． ， 即对于任意恒成立. 令t=30， 问题等价于对于任意恒成立. 令,其对称轴为直线 当,即时, 恒成立,符合题意,故; 当时, 对于任意,恒成立，解得 综上所述,当时,对于任意恒成立. 本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷. 分离系数,由得. 由于,所以,故,即u的最小值为. 要使对于不等式恒成立,只要 说明: 上述解法是将k=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。（2005年湖北卷第17题） 分析：利用导数将“函数在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t分离出来，通过讨论最值来解出t的取值范围。 【解析】依定义。 则， 若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。 ∴在（-1，1）上恒成立。 考虑函数，（如图4） 由于的图象是对称轴为， 开口向上的抛物线， 故要使在（-1，1）上恒成立， 即。 而当时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数。 故t的取值范围是. 数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化．因此，更要重视转化的数学思想． 4 g(x) 图1 t g(t) o · 1 x t g(t) o · 1 图2 图3 t g(t) o · 1 · · 图4 · 1 o · -1 y t=m t=m t=m