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用空间向量解立体几何题
浙江省浦江县第三中学 王建正 322200
空间向量是数学中的重要内容之一,由于空间向量具有数形兼备的特点,与代数、几何知识密切联系,所以是一个重要的数学工具。 用“空间向量”解决立体几何的实质是将综合推理转化为代数运算,建立“由形到形,由形到数,由数到形”的新方法,即在计算或证明立体几何问题时,建立空间直角坐标系,把图形中的相关点用坐标表示,相关的线段用空间向量表示,从而将空间问题用坐标运算求解,可以避免较为复杂的空间想象。
求距离的应用
求点到直线的距离
定理 在直线上任取一点,取直线的一个方向向量,则点到的距离。
例 设正方体的楞长为,如图。求上底面中心到直线的距离。
解 如图建立直角坐标系,则各点坐标为
,,,
,
所以
故上底面中心到直线的距离是。
求点到平面的距离
定理 设是平面的法向量,是平面的一条斜线,则点到平面的距离为.
例 在三棱锥中,,,,。如图。求点到平面的距离。
解 如图,以为原点建立空间直角坐标系。
则各点坐标为
,。设。
因为 ,
所以 。
,,,
设平面的法向量为,
,取
设点到平面的距离为。
所以点到平面的距离为。
求异面直线间的距离
定理 、是两条异面直线,是、的公垂线段的方向向量,又、分别是、上任意两点,则异面直线、的就离为.
例 在四棱锥中,,,,
。如图。求异面直线与间的距离。
解 如图,以为原点建立空间直角坐标系。
则各点坐标是
,,。
,,
设是异面直线与的公垂线段上的方向向量,
是异面直线间的距离。
,取。
则异面直线与间的距离
所以异面直线与间的距离是。
求两个平行平面的距离
求两个平行平面的距离一般转化为线面距、点面距处理。
例 在棱长为2的正方体中,为的中点,为的中点。如图。
求平面与平面的距离。
解 如图建立直角坐标系,则各点坐标为
,,
,,,
因为直线平行于平面,
所以平面与平面的距离等于
与平面的距离,而与平面
的距离可看作上任意点到该平面的距离。
设平面的法向量为
,取
故平面与平面的距离为。
求角的应用
异面直线所成角
定理 设直线、对应的方向向量分别为、,则直线所成的角为,异面直线所成角的范围是,若用余弦定理求得,则异面直线所成角应是。
例 已知正四棱锥侧棱长与底面边长都相等,
是的中点,如图。求异面直线,所成角。
解 点在平面的射影为,所以如图
建立直角坐标系,为轴、为轴、
为轴。 设底面边长为,则各点坐标为
,,,,
,
,
而 ,
所以异面直线,所成角是。
直线与平面所成角
定理 设是平面的法向量,是直线的方相向量,则直线与平面所成的角为,即直线与平面所成角大小是直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角。
例 面积为的的正方形所在的平面与面积为的矩形所在的平面互垂直,如图。求与平面所成角。
解 如图建立直角坐标系,
因为
所以
则各点坐标为
,,
所以 ,,
设平面的法向量为,
所以
,取,
则
,
所以与平面
所成角为即。
二面角
定理 设,是二面角的两个面,的法向量,则就是二面角的平面角或其补角。
当法向量,方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角大小等于法向量的夹角。
当法向量,方向分别指向二面角的内侧或外侧时,二面角大小等于法向量夹角的补角的大小。
例 正四棱柱中,,点在上且。如图。
求二面角的大小。
解 以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系。则各点坐标为
,,,。
,。
因为 ,,
故 ,。
又 ,
所以平面,即是平面的法向量。
设向量是平面的法向量,则
,。
故 ,。
令,则,,。
等于二面角的平面角,
。
所以二面角的大小为。
证明方面的应用
证明线面平行的方法
证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。
证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线。
利用共面向量定理,证明直线的方向向量与平面内两个不共线
向量是共面向量。
例 在四棱锥中,底面
为正方形,侧棱,、
分别为的中点。如图。证明:。
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