平面向量(讲).docVIP

01 平面向量的概念及其线性运算 〖知识梳理〗 1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。一般用或表示。 2、有向线段的定义：带有方向的线段叫有向线段。有向线段包括起点、方向、长度。所以向量可以用有向线段来表示。 【注】向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 3、模的定义：向量的长度叫向量的模，记作。 【注】模长都是非负数。 4、两类特殊的向量 （1）零向量：长度为零的向量。零向量的方向是任意的。规定：零向量和任意一个向量的方向平行。 （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量。 5、向量之间的关系[来源:学|科|网Z|X|X|K]的方向相同，且； 当时，与的方向相反，且。 （3）定理[来源:学科网ZXXK] 考点一：平面向量的基本概念 涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法. 【典型例题】给出下列命题： ①若||＝||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤ 若//，//，则//；其中正确的序号是（ ）。 考点二：平面向量的线性运算 1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算． 【典型例题】（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，表示出来。 （2）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ （3）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（ ） A． B． C． D． （4）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝______，y＝_______. 考点三：共线向量问题 1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ 使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． 2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 【典型例题】设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 02 平面向量基本定理及坐标表示 〖知识梳理〗 1、平面向量基本定理? 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 【注】基底的不惟一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不惟一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是惟一的． 2、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫作在轴上的坐标，规定： （1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 （2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。 3、平面向量的坐标运算 (1)设=,=，则=. (2)设=,=，则=. (3)设，,则. (4)设=，则=. (5)设=,=，则||（斜乘相减等于零） (6)设=则 5、三点共线的充要条件 （1）三点共线的充要条件是（要说明有公共点B） (2)设不共线，点三点共线的充要条件是,特别地，当时，是中点。 〖分析考点〗 考点一：平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底． (2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的． (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算． 【典型例题】如图所示，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a