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平面的基本性质第一部分 ??? 内容提要??? 1．序言：??? ⑴平面图形：由同一个平面内的点、线所构成。??? 空间图形：有空间的点、线、面所构成。也可看作空间点的集合。可见，平面图形是空间图形的一部分。??? ⑵立体几何的研究对象是空间图形，我们将在平面几何知识的基础上，来研究空间图形的画法、性质、计算、以及它们的应用。 ??? 2．平面的性质：??? ⑴公理1? 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．????????????? ??? 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．??? 用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则??? ⑵公理2? 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． ??? ??? ⑶公理3? 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．??????? ??? 推论1? 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．??? 推论2? 经过两条相交直线，有且只有一个平面．??? 推论3? 经过两条平行直线，有且只有一个平面． ??? ??? 要点内容??? 1．“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念。几何里的平面是无限延展的。这是平面最本质的一个属性，也是正确理解平面概念的关键。它可以联系直线是无限延伸的去理解。当直线在平面内时，由于直线是无限延伸的，如果平面有限，那直线怎么能在平面内呢？??? 2．通常把平面画成平行四边形（有时也根据需要画成三角形或其他平面图形）。画相交平面时，一定要画出它们的交线。立体几何中，遮住的部分可画成虚线或不画。为了不产生混淆，立体图形的直观图中，辅助线和图形中原有的“线”同样处理，可见部分不画成虚线。??? 3．公理和推论中的“有且只有一个”的含义是：“有”说明图形是存在的；“只有一个”说明图形是唯一的。“有且只有一个”和“确定”是同义词。??? 4．本节使用了 等符号。它们是借用的集合符号，读法上仍用几何语言。如A∈α，读作“点A在直线a上”；α∩β=α，读作“平面α、β相交于直线a”。??? 5．公理及其推论的作用。??? （1） 公理1的作用：①证明点在平面内； ②证明直线在平面内。??? （2） 公理2的作用：①确定两个平面的交线； ②证明三点共线或证明点在直线上； ③确定直线和平面交点的位置。??? 公理3及其推论的作用：①作辅助平面； ②证明平面的唯一性，即证明两个平面重合。 ??? 例题分析 第一阶梯 ??? [例1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．??? 已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．??? 求证：直线AB，BC，AC共面． ? ??? 证法：??? 因为AB∩AB=A，??? 所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）??? 因为B∈AB，C∈AC，??? 所以B∈α，C∈α，??? 故BCα．（公理1）??? 因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．??? 评注：??? 题中“且不过同一点”这几个字不能省略，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面.??? [例2]求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．??? 分析：??? 四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况． ????????????? ??? （1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．?????????????????? d∩c＝R，a、b、c相交于点O．??? 求证：a、b、c、d共面．??? 证明：??? ∵d∩a＝P，??? ∴过d、a确定一个平面α（推论2）．??????? 同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．??? ∵O∈a，O∈b，O∈c，??? ∴O∈α，O∈β，O∈γ．??? ∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．??? ∴α、β、γ重合．??? ∴a、b、c、d共面．??? 注：本题的方法是“同一法”． ???????????? ??? （2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．??? 求证：a、b、c、d共面??? 证明：??? ∵d∩a＝P，??? ∴d和a确定一个平面α（推论2）．??? ∵a∩b＝M，d∩b＝Q，??? ∴M∈α，Q∈α．??? MQα即bα.??? 同理Cα??? ∴a、b、c、d四线共面．??? [例3]如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中,画出平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。 ?????