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山东水浒书业有限公司· 优化方案系列丛书 第1章　解三角形 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 山东水浒书业有限公司· 优化方案系列丛书 第1章　解三角形 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 返回 * 应用举例(二) 学习目标： 1、运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量有关的角度和面积的实际问题； 2、掌握用数学方法解决实际生活问题的思路与方法。 三角形的面积公式 复习回顾 测量角度问题 解决此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解． 例1 【思路点拨】根据示意图，明确货船和护航舰大体方向，用时间t 把AB、CB表示出来，利用余弦定理求t. 【点评】　求角问题常涉及解三角形的知识，解题时应注意画出示意图，分析在△ABC中，∠ACB已知，边AC已知，另两边未知，但它们都是船航行的距离，由于船速已知，所以两边均与时间t有关，据余弦定理，列出关于t的方程，问题得到解决． 例2、 据气象台预报，距S 岛300 km的A处有一台风中心形 成，并以每小时30 km的速度向北 偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问 ：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由． 解：设台风中心经过t小时到达B点,则,∠SAB＝90°－30°＝60°, 在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°， 由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2-2·300·30tcos60° 若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270,即SB2≤2702， 例3、在△ABC中,若B=30°,C=45°, b=3cm,求△ABC的面积. 测量面积问题 例4、 如图，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2） C A B 方法感悟 解三角形应用题常见的情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． 作业：P20 8、9、11（1）（3） 13（证第一个公式） 搜集有关三角形中的取值范围问题的解法 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 此时AB＝10，BC＝10，在ABC中，由正弦定理得＝， 所以sinCAB＝＝＝， 所以CAB＝30°， 所以护航舰航行的方位角为75°.【解】　设所需时间为t小时， 则AB＝10t，CB＝10t， 在ABC中，根据余弦定理，则有 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°， 整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)． 即护航舰需1小时靠近货船． 化简整理得，t2－10t＋19≤0，解之得，5－≤t≤5＋， 所以从现在起，经过(5－)小时S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束． 持续时间：(5＋)－(5－)＝2(小时)． 所以S岛受到台风影响，从现在起，经过(5－)小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时．