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微分算子D的混沌性 数学与应用数学2011级1班 姓名:杨江平 指导老师：舒永录 摘要：微分算子D的定义为D=，表示的是在极小的横坐标变化范围内，函数的纵坐标的变化值，就是通常我们所说的对函数进行求导f′。 混沌则是一种自然现象，它是指确定性动力系统因对初值敏感而表现出的不可预测的且类似随机性的运动。又称浑沌。动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。 关键字：微分算子D，混沌，动力系统 Title Major：applied mathematics grade：2011 （Times New Roman小四号） Undergraduate： Supervisor：（Times New Roman小四号内容应与“中文摘要”对应，使用第三人称，用现在时态编写。（Times New Roman号），，（Times New Roman），x。）∪（x。，x。+）中有定义。如果存在A∈R，使得对任意给定的＞0，都存在0＜＜，当0＜＜时，有，则称函数f（x）在x。处（当x趋于x。时）有极限A。微分算子D不同于数学分析中的微分，这个定义我在常微分方程楼红卫和林伟编著的书中见过。 混沌（chaos）作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。混沌可在相当广泛的一些确定性动力系统中发生。 2正文 本文主要讨论函数f（x）的初值x。的改变对于f（x）的导数值f′（x。）的影响。首先我们要通过几何图形来更直观的了解导数的几何意义，数学符号的出现是为了更好地研究自然，一切离开现实的空想都不可信。 函数y=f（x）是二维平面上的光滑连续函数而T是y的在M点的切线。把M点的横坐标看做初始点x。则微分算子D求的就是lim =D当 趋近于0时，既横坐标的该变量对应纵坐标的该变量两者的比值。但我们不知道△X的值，我们用的是一种近似的求法。数学家的方法是让ΔX接近于0则N点不断靠近M点，这时MN的连线接近于T并最终与T重合，NQ与MQ的比值ζ就接近PQ与MQ的比值η。但我个人对于这点不赞同，既然ΔX接近于0从图上可以看出Δy也随着接近于0，ζ和η相等只是我们视觉上的错误，比如y=x2 它的导数为2x。在x=1时f′（1）=2而在x=1和2两点ζ和η的比值为3所以导数只是个近似值。 现在我们把函数图像看做一个动力系统。我不想用简单的公式求极限，因为我也不知道求出来的结果是否正确，我只想根据直观的图像来分析初值x。的选取对不同的曲线函数的影响。 我们把函数曲线看做是一个动力系统，起始点是0点坐标为（0,0）沿着x轴的正负方向运动，随着x的改变y值也跟着改变，我们要研究的就是在一定的时间内y值的改变量与x值改变量的比与x的值选取的关系。我们先来看y=sinx这个函数。 当x=时y=，令ΔX=，这时y=sin（x+ΔX）=从图上可以看出ΔX占了横坐标的1个小单位格，而ΔY=个单位小格。我们可将D=ΔY。 令x=时y=，令ΔX=，则y=，ΔY=，D=ΔY。我们比较可得在相同的ΔX的条件下第一次取值x=得到的D=0.20，而第二次取值x=得到的D=0.16。 从图上我们可以看出函数图像在原点开始是一条接近直线线段，随着x的值大于某个值以后 直线慢慢向下弯曲变成一条曲线，到x=π／2这个点时曲线由递增变为递减。这个点的弯曲弧度是最大的。由数据和观察我们得出，向x轴弯曲的弧度越大比起不向x轴弯曲的区间段，在相同的ΔX的条件下，函数值的ΔY改变的越小。这个结论无论是曲线是单调减还是单调增的情形下都是成立的。根据y=sinx的函数图像，如果ΔX的区间段包含了峰值，则这种情况ΔY的值有可能出现负值和0，要另外讨论。 我们现在只讨论函数图像的第一个峰值，延x的正半轴的情形。如果峰值刚好将ΔX分为相等的两份，则ΔY=0，从图像上看，这个时候函数从递增,已经通过峰值点转变为递减，峰值点是函数曲线弯曲的最厉害的地方，通过这个峰值点可以做一条x轴的平行线与函数曲线相切，甚至如果取适当的ΔX令被峰值点分开的前半段ΔX小于后半段ΔX则ΔY还是负值，如果取适当的ΔX令被峰值点分开的前半段ΔX大于后半段ΔX则ΔY还是正值，为了避免不必要的麻烦我们不让ΔY为负，因此我们不把转折点包含在ΔX内，这就减少了我们很多的假设和定义。 我们得出结论：在单调增或减的函数区间内，函数曲线向x轴的弯曲程度越高D越小，反之函数曲线向y轴弯曲的程度越大则D值越大，在转折点弯曲的程度最大，函数值由增大改为变小是个特殊的