微分算子法.docVIP

高阶常微分方程的微分算子法 摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程的通解. 解 记，将方程写成 或 我们熟知，其实首先要解特征方程 得故知方程有三特解，由于此三特解为线性无关，故立得通解 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 其中系数是某区间上的连续函数，上述方程又可写成 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 解 写成 从特征方程 解得 共三实根，故可立即写成特解 3.求解 解 写成 或 特征方程 有根 ，故对应的特解是，， 从而通解是 4.求之通解. 解 写成 或 特征根是，对应的特解应是，故写成通解 5.求的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程的通解，写成，可知特征根为，相应的通解为 设原方程有特解形为 其中为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 或 (方程组右端为原方程非齐次项)，解得 ， 或 ， 最后得通解为 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。 6.求解下列方程 (1) (2) 解 (1) (2) 7.求解下列cauchy问题 (1) (2) 解 (1) (2) 8.求解非齐次方程 解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解 令 考虑方程组 最后解得 ， 故原方程的通解为 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法 9.求解 解 写成 故对应齐次方程的通解为 今用下法求原方程的一个特解，显然满足 今用下法求出 通解为 注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算同时当作数与运算来处理，上法中视为的逆运算，经分层部分分式后，又将作为数，将展开或读作除数，最后，又将恢复其运算功能。至此，积分微分方程问题已变为求导问题。 上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。 10.给定一个微分算子 则对任一有次导数的函数，得到唯一的函数 今定义逆运算 恰为微分方程的一个特解。 证明下列事实： (1)给定后，不唯一 (2)对任一常数及连续函数，有下式成立 (3)设有另一微分算子，则 (4)有下式成立 证明 (1)设是方程的特解，则有 故 (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出 11.给定如上题，证明下列性质： (1)设，此处为多项式(与对应)，则 当时 (2) 特别 (3)当为偶次多项式，，则 ，其中 对也有类似公式 特别，对一般的，当时， 证明 (1)因，故有 于是 (2) 今令 则，代入上式得 或 一般公式可由此逐步推出 (3)因，故 从而 当为偶多项式时 ， 故一般公式由上式逐步推出 注 (1)还有另一性质，我们述而不论： (2)当时，此时宜用Euler公式 (3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础 由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。 12.求下面方程的特解 解 13.求方程的一个特解 解 设，则，即可知 故最后可得 也可