抽象函数的常见解法.docVIP

抽象函数的常见解法 一、赋值法 先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。 例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。 分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。 解： 令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1， ∴ f(1) = 1 f(2)= f(1) +2 f(3) = f(2) +3 … f(n) = f(n－1) +n 各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = ∴ f(x) = 例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R, y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。 分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。 证明：令x = y = 0 ∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0) ∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1 令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y) ∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R, ∴ f(x)是偶函数 例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x 0, y 0 恒有f(xy) = f(x) + f(y) 求证：当x 0时, f( ) = －f(x) 分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。 证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)，∴ f(1) = 0 又令y = ，x 0，则 f(1) = f(x) + f( ) ∴ f(x) + f( ) = 0 即f( ) = －f(x) 二 定义法 在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。 例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为 f(log2x)定义域为___________ 分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。 解： ∵ －1≤x≤1 ∴ ≤2x≤2 ∴ f(x)定义域为[, 2] ∴ ≤log2x≤2 ∴ ≤x≤4 ∴ f(log2x)定义域为[,4] 例5 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则 f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_________________ 分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应的函数值,比较大小。 解： ∵f(x)是周期为2的偶函数 ∴ f(－6.5) = f(－6.5+ 3×2)= f(－0.5) = f(0.5) f(－1) = f(1) 又∵f(x)在[0,1]上是增函数，∴f(0) f(0.5) f(1) 故f(0) f(－6.5) f(－1) 例6 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x+1),x∈R则g(x) =_____h(x) = ______ 分析:由题中条件,结合函数的奇偶性,求出f(x)及f(－x)的解析式,再求出g(x)和h(x)。 解：依题意有g(x) + h(x) = f(x) = lg(10x+1) (1) 又∵g(x)是奇函数，h(x)是偶函数 ∴ g(－x) + h(－x) = f(－x) 即－g(x) + h(x) = f(－x) = －lg(10x+1) (2) 由(1)、(2)得 g(x) = , h(x) = lg(10x+1)－ 三、穿脱法 解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。 例7已知f(x)是奇函数，当x 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x 0 时，f(x)的解析式。 分析: 利用变量间的代换,把x0表示成－x0,先求出相应f(－x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。 解： 令x 0，即－x 0 ∴ f(－x) = (－x)(1－x) 又∵f(x)是奇函数 ∴ －f(x) = －x(1－x) ∴ f(x) = x(1－x)