拟合基本概念.ppt

练习某企业1990-1996年的生产利润如下表： * 数学建模 ---数据拟合 张兰 拟 合 1、拟合的基本原理 2、用MATLAB解拟合问题 3、MATLAB解应用问题实例 曲 线 拟 合 问 题 的 提 法 已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 + + + + + + + + + x y y=f(x) (xi,yi) ?i ?i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离 拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： 若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； 曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) （1） 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离?i 的平方和最小 。 记 问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。 线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组 即 Ra=y 其中 超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。 如果有向量a使得 达到最小， 则称a为上述超定方程的最小二乘解。 线性最小二乘法的求解 定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组 RTRa=RTy 的解：a=(RTR)-1RTy 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。 其中 Ra=y （3） 线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f=a1+a2x f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2/x f=aebx f=ae-bx 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)： 用MATLAB解拟合问题 1、线性最小二乘拟合 2、非线性最小二乘拟合 用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m) 2. 对超定方程组 可得最小二乘意义下的解。 ，用 3.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x） 输出拟合多项式系数 a=[a1, …am , am+1] (数组)） 输入同长度 的数组X，Y 拟合多项 式次数 某一组观测数据如表所示, 求其拟合曲线. 例1 0 0 27.0 i xi yi 1 1 26.8 2 2 26.5 3 3 26.3 4 4 26.1 5 5 25.7 6 6 25.3 7 7 24.8 Matlab 语句 x=[0 1 2 3 4 5 6 7] y=[27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8] plot(x, y, ‘b.’) 某一组观测数据如表所示, 求其拟合曲线. 例1 0 0 27.0 i xi yi 1 1 26.8 2 2 26.5 3 3 26.3 4 4 26.1 5 5 25.7 6 6 25.3 7 7 24.8 设拟合直线为: 解 某一组观测数据如表所示, 求其拟合曲线. 例1 0 0 27.0 i