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数学建模中的数值计算方法 主要内容 数值计算概述 插值和拟合 数值积分 数值微分 常微分方程数值解 第一部分 数值计算概述 什么是数值计算方法？ 对各种数学问题通过数值运算得到数值解答的方法。 什么是数学建模？ 利用数学方法解决实际问题的一种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解． 什么是“好的”数值计算方法？ 误差 数值计算中对数的处理 * * 宋霞 形成问题－明确待研究问题的特征、背景、用途 提出假设－抓住主要矛盾、忽略次要因素 建立模型－量化关键因素、建立数学结构和模型 算法求解－选择合适的算法对模型问题进行求解 算法分析－对算法的误差、稳定性等进行分析 修正模型－对模型进行检验和修正 模型应用－应用成果解决实际问题 实际问题　　　　数学问题　　　　近似解 数学建模 数值计算 数学建模求解问题的方法和步骤 误差小 ─ 误差分析 耗时少 ─ 复杂度分析 抗干扰 ─ 稳定性分析 例1：用克莱姆法则求解一个n阶线性方程组时，需要计算n+1个n阶行列式的值。设n=20,若采用10亿/秒的计算机，要花费三十万年的时间进行计算。若用高斯消元法来求解，在几分钟之内就可得结果。 例2：计算积分 在数学建模时，采用数值计算方法求解问题得到结果后要进行误差分析，能估计误差的算法才是有实用价值的算法 一、误差的类型 绝对误差＝真实值－近似值 相对误差＝绝对误差／真实值 误差限 估计出误差不会超过某个确定的数值， 这个数值就称为近似值的误差限。 二、误差的来源： 引起误差的原因是多方面的 1）模型误差 建立数学模型时，通常要根据实际需要做一些简化，忽略一些次要因素，是模型不致过分复杂，又能满足精度要求。这样建立起来的数学模型是客观现象的近似描述。这种近似必然产生误差。 2） 方法误差 在计算过程中，由数学计算方法产生的误差，称为 方法误差。 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数 展开式： 这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。 用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差 是由数学方法产生的，所以是一种方法误差。 3) 舍入误差 在计算过程中，当我们表示一个数时，常常只能取有限位。超出的尾数将会舍去，从而造成误差，这种误差称为舍入误差。 舍入误差是数值计算中重点研究的对象。 观测误差 运算传播误差 要对一个数学问题求数值解答，除了在数学上对问题进行预处理以外，最后都要化成各种数据的一系列+,-,*,/四则运算，由此获得数值结果。数值计算的一个特点是：参与计算的数必须是有限位的，而且位数往往是预先规定的。 四舍五入 有效数字 截断法（去尾法） 可靠数字 半个单位 一个单位