排列组合、二项式.docVIP

第六章 排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题. 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题. 3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识结构 加法原理、乘法原理 排列数 排列 排列数应用 组合数 排列组合综合应用 组合 合数应用 二项式定理 三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据. 例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种? 解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=35(种) (二)排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 例2 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( ) A.60种 B.48种 C.36种 D.24种 解：根据题的条件可知，A、B必须相邻且B在A的右边，所以先将A、B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故总的排法有 P44=4×3×2×1=24(种). 可知此题应选D. 例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为 3P13=9(种). (三)组合、组合数公式、组合数的两个性质 说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查. 例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种 根据加法原理可得总的取法有 C24·C25+C24·C15=40+30=70(种) 可知此题应选C. 例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种； 乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种. 根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×5××1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质 说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为（ ） A.160 B.240 C.360 D.800 解：∵(x2+3x+2)5 =C05(x2+3x)5+C15(x2+3x)4×２+C25(x2+3x)3×22+C35(x2+3x)2×23+C45(x2+3x)×24+C55×25. 在展开式中只有C45(x2+3x)×24才含有x，其系数为 C４5×3×24=5×3×16=240. 故此题应选B. 例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于___________ 解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为 = 在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-20. (五)综合例题赏析 例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a