散度,旋度,梯度.docVIP

散度　　散度（divergence）的概念： 　　在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 　　由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。 　　div F=·F 　　气象学： 　　散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 　　微积分学→多元微积分→多元函数积分： 　　设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。 上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号。梯度　　gradient 　　设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 　　在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 　　在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 　　梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 　　在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)D，都可以定出一个向量 　　(δf/x)*i+(δf/y)*j 　　这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 　　类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 　　梯度的汉语词义，用法。 　　《现代汉语词典》附：新词新义 　　梯度 1.坡度。 　　 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 　　 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 　　 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。 旋度　　表示曲线、流体等旋转程度的量。 定义 　　设有向量场 　　A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 　　在坐标轴上的投影分别为 　　δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy 　　的向量叫做向量场A的旋度，记作 rot A或curl A ，即 　　rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 　　式中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号。 　　行列式记号 　　旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示： 　　若 A=Ax·i+Ay·j， 　　则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 　　若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 　　则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 　　为一向量。 外积　　把向量外积定义为： 　　大小：a × b = |a|·|b|·Sina, b. 　　方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,z的模长=x*y*sin(x,y)则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。 　　分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 　　下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 　　1）外积的反对称性： 　　a × b = - b × a. 　　这由外积的定义是显然的。 　　2）内积（即数积