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4.6马尔柯夫预测 主要内容 马尔柯夫预测的基本概念与原理 市场占有率的马尔柯夫预测 相关领域应用预测 期望利润的马尔柯夫预测 状态和状态转移 状态是指客观事物可能出现或存在的状况。 如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。 状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。 马尔柯夫过程 设预测对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的状态为Ei，而该系统从状态Ei变化到另一状态Ej的状态转移过程称为马尔柯夫过程。它具有如下的两个特征： 概率向量和概率矩阵 正规概率矩阵 正规概率矩阵的固定概率向量 一步转移概率与转移矩阵 例1 k步转移概率与矩阵 状态转移概率的估算 例2 系统的稳定状态 处于状态i的概率如用Si表示，则系统的状态可用下面的概率向量来表示： S=(S1，S2，……，Sn) 系统的稳定状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。即： SP=S 则称S为P的稳定状态概率向量。 稳定状态概率向量求法 P11S1+P21S2+……+Pn1Sn=S1 P12S1+P22S2+……+Pn2Sn=S2 … … … … … … P1nS1+P2nS2+……+PnnSn=Sn S1+S2+……+Sn=1 马尔柯夫预测模型 马尔柯夫预测模型 马尔柯夫预测法的应用条件 必须将研究的问题归纳成独立的状态； 要确定经过一个时期后，系统由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件： 只与目前状态有关； 与具体的时间周期无关； 预测期间，状态的个数必须保持不变。 预测步骤 如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下： 确定系统的状态； 确定转移概率矩阵； 进行预测。 例3 例： 市场占有率的马尔柯夫预测 市场占有率 在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。 设市场中提供某种商品的厂商共有n家。当前的市场占有率，即本期市场占有率为： 用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i厂商转来的顾客的概率。特别是当i=j时，Pij代表i厂商保留上期顾客的概率。这样Pij即为市场占有率的转移概率。 例4 例5 例6 期望利润的马尔柯夫预测 期望利润预测 一次转移的期望利润 例7 例7 (2)求期望利润矩阵： 即下一季度可期望获得利润3千元。 (3)进行期望利润预测 下一季度，即一次转移后的期望利润为： 当 K=2 时，即二次转移后的期望利润为： 即：二个月后期望利润将达到4.78千元。 当K=3时，即三次转移后的期望利润为： 即：三个月后期望利润将达到7.00千元。 对于未来一个时期的市场占有率 上式表明：对于某一厂商下期市场占有率，包括自己保留下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。写成矩阵形式，有： 即：S（t+1）=S（t）P 下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。 有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：0.52、0.30、0.18。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。 企业占有顾客变化情况 单位：人 解： 1．确定初始状态 以上月各企业的市场占有率为初始状态， S(0)=(0.52,0.30,0.18) 2.计算转移概率 3.计算本期市场占有率 本月市场占有率S(1)=S(0)P,即： S(1)=(0.435,0.297,0.268) 4.后续周期趋势预测 若以本月为第一个月,则第K个月的市场占有率为S(K)=S(0)PK。如果需要进行长期趋势预测,则可以此公式计算下去。如下表 5．长期市场占有率预测——稳定状态分析 企业产品的市场占有率的稳定状态是各企业产品的市场占有率不发生逐期变化时的状态。从前面可以看到，随逐时间的推移，各企业产品的市场占有率逐期上升或下降，但变化的幅度逐渐减小，趋近于不变，即处于稳定状态。 若以SA、SB、 SC分别代表稳定状态下A、B、C各企业产品的市场占有率，则： 得联立方程组： 0.6SA+0.35SB+0.1SC=SA 0.3SA+0.35SB+0.2SC=SB 0.1SA+0