7.6极值与最值.pptVIP

* * 第七章 Ch7.6 一、二元函数的极值(无条件) 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及最值 一、 二元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 二元函数极值也是局部性的概念 即定理1反之不真! 在(0,0)处两个偏导数均为0, (2).偏导数不存在的点也可能取得极值. 说明:(1).使一阶偏导数都为 0 的点称为驻点 或稳定点. 但驻点不一定是极值点， 例如, 在(0,0)取得极大值. 定理1 (极值存在的必要条件) 且在该点取得极值 , 则有 函数 偏导数, 存在 极值点必在驻点和一阶偏导数不存在的点中取得. 定理1：一阶偏导数存在的极值点必为驻点。 但(0,0)无极值. 如何判断一个驻点是否为极值点？ 时, 具有极值 定理2 (极值存在充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0(或C0) 时取极大值; A0 (或C0)时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 (P229) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 二元函数求极值的步骤: 例1. 求函数 的极值. 解: 例2. 求函数 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 在点(1,0) 处 为极小值; 1.解 的极值. 2.求二阶偏导数,即A,B,C 解: 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 二、最大值,最小值 函数 f 在有界闭域上连续 函数 f 在有界闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点 依据 --有界闭域上的最值问题 得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去） 在点(2,0) 处f(2,0)=4 解: 特别, 在求解实际问题的最值时,如果从实际意义知道所求函数最值存在, 且只有一个驻点P 时, 则该驻点就是函数所求的最值点。 为极小 值 为最小 值 (大) (大) 例4. 求最大利润. 某企业生产两种商品的产量分别为x单位和y单位, 利润函数为 最大利润为1650单位. 解: 三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 方法1 无条件化. 基本思想是把条件极值问题化为无条件极值问题 方法2 拉格朗日乘数法. 模型: