02命题逻辑等值演算.ppt

第2章 命题逻辑等值演算 本章说明 2.1 等值式 两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 抽象地看，它们的真假取值完全相同时即 代表了相同的命题。 设公式A,B共同含有n个命题变项，可能对A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相同。于是等价式A?B应为重言式。 等值的定义及说明 例题 例2.1 判断下面两个公式是否等值 ┐(p∨q) 与 ┐p∧┐q 例题 例题2.2 判断下列各组公式是否等值(1)p→(q→r)与(p∧q)→r (2)(p→q)→r与(p∧q)→r 基本等值式 1.双重否定律 A ? ┐┐A 2.幂等律 A ? A∨A, A ? A∧A 3.交换律 A∨B ? B∨A， A∧B ? B∧A 4.结合律 (A∨B)∨C ? A∨(B∨C) (A∧B)∧C ? A∧(B∧C) 5.分配律???????? A∨(B∧C) ? (A∨B)∧(A∨C)  （∨对∧的分配律） A∧(B∨C) ? (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律） 6.德·摩根律????? ┐(A∨B) ? ┐A∧┐B ┐(A∧B) ? ┐A∨┐B 7.吸收律??????? ?A∨(A∧B) ? A，A∧(A∨B) ? A 基本等值式 8.零律 ???? ? A∨1 ? 1,A∧0 ? 0 9.同一律??????? ? A∨0 ? A，A∧1 ? A 10.排中律?????? ? A∨┐A ? 1 11.矛盾律? ? A∧┐A ? 0 12.蕴涵等值式?? ? A→B ? ┐A∨B 13.等价等值式??? A?B ? (A→B)∧(B→A) 14.假言易位???? ? A→B ? ┐B→┐A 15.等价否定等值式??????A?B ? ┐A?┐B 16.归谬论?????? (A→B)∧(A→┐B) ? ┐A 对偶原理 一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1 那么同时 把∨和∧互换 把0和1互换 得到的还是等值式。 等值演算与置换规则 各等值式都是用元语言符号书写的，其中A,B,C可以代表任意的公式，称这样的等值式为等值式模式。 每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。例如，在蕴涵等值式 A→B?┐A∨B 中，取A=p，B=q时，得等值式 p→q?┐p∨q 取A=p∨q∨r，B=p∧q时，得等值式 (p∨q∨r)→(p∧q) ? ┐(p∨q∨r)∨(p∧q) 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的代入实例。 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。 置换规则 设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题公式，若B?A，则Φ(B)?Φ(A)。 关于等值演算的说明 等值演算的基础 等值关系的性质：自反性：A?A。对称性：若A?B，则B?A。传递性：若A?B且B?C，则A?C。 基本的等值式 置换规则 等值演算的应用 证明两个公式等值 判断公式类型 解判定问题 例题 利用基本的等价关系，完成如下工作： （1）判断公式的类型： 证明 ((Ｐ∨Ｑ)∧? (?Ｐ∧(?Ｑ∨?Ｒ)))∨ (?Ｐ∧?Ｑ)∨(?Ｐ∧?Ｒ)是一个永真公式。 （2）证明公式之间的等价关系： 证明Ｐ→(Ｑ→Ｒ) = (Ｐ∧Ｑ)→Ｒ （3）化简公式： 证明(?P∧(?Ｑ∧R))∨((Ｑ∧R)∨(P∧R)) = R 等值演算的应用举例 证明两个公式等值(p→q)→r ? (p∨r)∧(┐q∨r) 例题 例2.3 用等值演算法验证等值式 (p∨q)→r ? (p→r)∧(q→r) 例题 例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值 例题 例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q) 例2.5 解答 例2.5 解答 例2.6 应用题 在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。 听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们3人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？ 例2.6 解答 设命题 p：王教授是苏州人。 q：王教授是上海人。 r：王教授是杭州人。 p,q,r中必有一个真命题，两个假命题，要通过逻辑演算将真命题找出来。 设 甲的判断为A1=┐p∧q 乙的判断为A2=p∧┐