三角函数的图像与性质知识点及习题.doc

三角函数 基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)　　(π，0)　　(2π，0) (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：__ x＝kπ＋(k∈Z)__ _； 对称中心： _ (kπ，0)(k∈Z)__ _ 对称轴： x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： _(kπ＋，0) (k∈Z)__ 对称中心：_ (k∈Z) __ 周期 2π_ 　2π　 π 单调性 单调增区间_[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)___； 单调减区间[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z) __ 单调增区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) ____； 单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______ 单调增区间_(kπ－，kπ＋)(k∈Z)___ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期. 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ， y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 . 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)y＝sin；(2)y＝sin. 热身练习: 1．函数y＝cos，x∈R(　　)． A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．函数y＝tan的定义域为(　　)． A. B. C. D. ．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是( ) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 【解析】令2x＋＝kπ＋，则x＝＋(k∈Z) ∴当k＝0时，x＝，选D. ．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)． A．(－π，0) B. C. D. 解析　y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(kZ)，令x－＝kπ(kZ)，x＝kπ＋(kZ)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是. 答案　B ．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是 (　　) A.(0，π)　　　　　 B. 　 C. D. ．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()f(π)，则f(x)的单调递增区间是( ) A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z) C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z) 【解析】当