三角函数的图像与性质知识点及习题.doc

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三角函数 基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)  (π,0)  (2π,0) (2)y=cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),,(π,-1),,(2π,1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 R R {x|x≠kπ+,k∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R 对称性 对称轴:__ x=kπ+(k∈Z)__ _; 对称中心: _ (kπ,0)(k∈Z)__ _ 对称轴: x=kπ(k∈Z)___; 对称中心: _(kπ+,0) (k∈Z)__ 对称中心:_ (k∈Z) __ 周期 2π_  2π  π 单调性 单调增区间_[2kπ-,2kπ+](k∈Z)___; 单调减区间[2kπ+,2kπ+] (k∈Z) __ 单调增区间[2kπ-π,2kπ] (k∈Z) ____; 单调减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)______ 单调增区间_(kπ-,kπ+)(k∈Z)___ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 3.一般地对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x+T)=f(x),其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一个x值不满足f(x+T)=f(x),都不能说T是函数f(x)的周期. 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 , y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上确界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1),则y=(t-2)2+1≥1,解法错误. 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y=Asin(ωx+φ) (ω0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)y=sin;(2)y=sin. 热身练习: 1.函数y=cos,x∈R(  ). A.是奇函数 B.既不是奇函数也不是偶函数 C.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2.函数y=tan的定义域为(  ). A. B. C. D. .函数y=sin(2x+)的图象的对称轴方程可能是( ) A.x=- B.x=- C.x= D.x= 【解析】令2x+=kπ+,则x=+(k∈Z) ∴当k=0时,x=,选D. .y=sin的图象的一个对称中心是(  ). A.(-π,0) B. C. D. 解析 y=sin x的对称中心为(kπ,0)(kZ),令x-=kπ(kZ),x=kπ+(kZ),由k=-1,x=-π得y=sin的一个对称中心是. 答案 B .下列区间是函数y=2|cos x|的单调递减区间的是 (  ) A.(0,π)      B.   C. D. .已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立,且f()f(π),则f(x)的单调递增区间是( ) A.[kπ-,kπ+](k∈Z) B.[kπ,kπ+](k∈Z) C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ-,kπ](k∈Z) 【解析】当

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