优化设计2-1.ppt

，负梯度-▽Ｆ (Ｘ(k) )是函数F (Ｘ)在 Ｘ(k) 点的最快速下降方向。 §2.1 目标函数的性态分析 而此时S和▽Ｆ反向，与 -▽Ｆ同向。也就是S与 -▽Ｆ(Ｘ(k) )方向一致时， Ｆ(Ｘ)沿S方向下降得最快。 ，若函数Ｆ(Ｘ)在 Ｘ(k)点有极值，那么，从这一点开始向哪走，函数都不会再减小。 所以 -▽Ｆ(Ｘ(k) ) =0 即： ▽Ｆ(Ｘ(k) ) =0 §2.1 目标函数的性态分析 从数学上多元函数的极值条件也可推导出来。函数在此点的各一阶偏导数等于零写成列向量就是梯度了。 §2.1 目标函数的性态分析 最优化设计 第二章 最优化设计 的基本理论 第二章 最优化设计的基本理论主要内容：1，目标函数和约束函数的某些性质。2，目标函数达到设计最优解的某些规律。 第二章 最优化设计的基本理论术 §2.1 目标函数的性态分析 一、目标函数的等值面（线） 目标函数是一种可计算函数。 F(X) = F(x1 , x2 , x3 ,... x n ) 给定一个设计方案X (x1 , x2 , x3 ,... x n )的值时，F(X)必有一定的数值相对应。 反过来，若给定F(X) = C值，便有无限多组的(x1 , x2 , x3 ,... x n )与F(X) = C相对应。即：当F(X)等于常数时，X在设计空间中有一个点集。 一般情况下，此点集是一超维曲面，称之为目标函数的等值面。当给定一系列的C值，C=C1,C2…时，便可以得到一组曲面族——等值面族。 当然，在一个特定的等值面上，每个设计方案的目标函数值都是相等的。 §2.1 目标函数的性态分析 当n=2时，得到等值线。如图所示： 目标函数的等值线族方程为： 此曲线族是以（2，0）为圆 心， 为半径的同心圆。 给定一个 x1 , x2 值，可以算得相应的Ｆ(Ｘ)。但给定一个Ｆ(Ｘ)= Ci ，就得到了一个圆。这个圆实际上是无穷多个点组成起来的，是无穷多个点的集合，是无穷多个设计方案的集合。 §2.1 目标函数的性态分析 同一圆上的所有设计点所对应的目标函数值都是相等的。 当n=3时，得到等值面。 §2.1 目标函数的性态分析 非圆形的等值面（等值线）是实际问题中常见的。可以用地形图中的等高线来比喻。等值线的中心一般是目标函数的极值，等值线越密，该处的函数变化率越大。 等值线（面）的分布律表示了目标函数的变化情况。 对于有中心的曲线族，求目标函数的极值就是寻找等值线族的共同中心。 怎么找到目标函数等值线的共同中心呢？ §2.1 目标函数的性态分析 中心 而最优化设计的最关键问题就是确定行进方向S和行进步长的步长因子α。 这两个参数定得好，几步就可以找到极值点，达到事半功倍的效果。S和α定得不好，就有可能始终找不到Ｘ*,甚至越算越糟。 怎么找，得对有些数学知识给予复习。 §2.1 目标函数的性态分析 最优化设计都是采用迭代的办法。由一个初始点 Ｘ(0)，想法找到一个方向S(0)，向前迈进一步， ΔＸ(0) = α(0) S(0) 走到一个新点： Ｘ(1) =Ｘ(0) +α(0) S(0) 比较F（Ｘ(0)）和F（Ｘ(1)），如果 F（Ｘ(0)）F（Ｘ(1)），则把（Ｘ(1)）当成新的初始点重新 开始第二次迭代。 1，? 偏导数 某个坐标轴方向上函数值的变化率称之为函数的偏导数。 §2.1 目标函数的性态分析 二、函数的方向导数 等值面或等值线只是从几何方面定性地表达了目标函 数的变化规律。这是不够的，必须对目标函数的性态作定 量的分析，以便进一步探明目标函数沿某个指定方向的函 数值的变化率是多少，沿哪个方向变化率最大。（现代设 计方法的发展趋势之一，就是由定量取代定性。）为此， 需要引入方向导数和梯度的概念。 §2.1 目标