数值分析1.3.ppt

第一章 1.3 数值稳定性和要注意的若干原则 1.3.3 减少运算次数 1.3.2 避免有效数字的损失 1.3.1 数值方法的稳定性 1.3 数值稳定性和要注意的若干原则 学习目标： 掌握数值运算中避免大误差产生的若干准则。 定义 1.4 对于某个数值计算方法，如果输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的。 举例说明如下。 例1 计算积分值 解 由于要计算系列的积分值，我们先推导 的一个递推公式。由 1.3.1 数值方法的稳定性 可得下面两个递推算法。 算法 1 ： 算法 2 ： 直接计算可得 　如果我们用四位数字计算，得 的近似值为 。记 ， 为 的近似值。 对算法 1，有 按以上初始值 的取法有 ，事实上 。这样，我们得到 。这个数已经大大超过了 的大小，所以 连一位有效数字也没有了，误差掩盖了真值。 逆向递推公式 对算法 2，有 可取 的一个近似值为 对 有 。 如果我们能够给出 的一个近似值,则可由算法2计算 的近似值.并且,即使 较大,得到的近似值的误差将较小. 由于 按 和 ，分别按算法1和2计算，计算结果如表 1-1 ，其中 为算法1的计算值， 为算法2的计算值。易知，对于任何自然数 ，都有 ，并且 单调递减。可见，算法1是不稳定的，算法2是稳定的。 （四位） 表 1 - 1 用递推关系进行计算时必须注意误差的积累. 当然，数值不稳定的方法一般在实际计算中不能采用。数值不稳定的现象属于误差危害现象。下面讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题。 1.3.2 避免有效数字的损失 　　在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意，“小数”的作用可能消失，即出现“大数”吃“小数”的现象。 例2 用三位十进制数字计算 其中 如果我们自左至右逐个相加，则所有的 都会被舍掉，得 。但若把所有的 先加起来，再与101相加，就有 　　可见，计算的次序会产生很大的影响。这是因为用计算机计算时，在运算中要“对阶”，对阶引起了大数吃小数的现象。大数吃小数在有些情况下是允许的，但有些情况下则造成谬误。在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失。 例3 求实系数二次方程 的根，其中 解 考虑两种解法。 算法 1： 算法2: 其中sgn表示取数的符号，即 对算法1，若 ，则是不稳定的，否则是稳定的。这是因为前一种 情况的分子有一个相近数相减，会大量损失有效数字，从而有一个结果的误差 很大。算法2不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的。因此称算法1是条件稳定的，算法2是无条件稳定的。 例如，对于方程 用4位有效数字计算，结果如下： 算法1： 算法2： 准确解是 。这里 　 所以算法1不稳定，舍入误差对 的影响大。 遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失。例如，我们有如下的变换公式： 第一章