高等数学-集合与函数.ppt

函数与极限 一、集合、数集 2. 两种常见数集 （1）区间（略） （2）邻域： a)定义： b) 几何解释 c) 二、函数 1. 概念 三、函数的特性 五 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 六 复合运算、初等函数 1.复合函数：设函数 的定义域分别为 的值域为W，且W . 则称函数 由函数 及 复合而成 例2 由常数及基本初等函数经有限次四则运算 与复合运算构成并可用一个式子表示的函数。 六、小结 例3 解 综上所述 2 初等函数 √ × * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 * 高等数学 第一节 集合与函数 一、集合 数集 二、函数 三、函数的初等性质 四、函数的运算 五、初等函数 六、小结 （1）集合: 具有某种特定性质的事物的总体. （2）集合的元素：组成这个集合的事物。 （3）集合表示方法 无限集 有限集 （4）相互关系 1. 集合 例 圆内接正多边形的周长 圆内接正n 边形 O r ) 因变量 自变量 数集D叫做这个函数的定义域 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. (1) 符号函数 2. 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 (3) 取最值函数 y x o y x o 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. (4) 例1 解 故 设函数 在集合 上有定义，若存在正常数 ，使得对任意 ，有 （或对任意 有 ），则称 在 上有上界（或有下界），且称 为 在 上的一个上界(或下界)。若 存在，使得对任意 有 ， 则称 在 上有界；否则称 为 上的无界函数。 1．函数的有界性: M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 注：有界的概念与数集紧密相关 2 函数的单调性: x y o x y o 3 函数的奇偶性（前提是定义域关于原点对称） 偶函数 y x o x -x 奇函数 y x o x -x 4 函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. (1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射 为 f 的反函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数 (减) (减) . 1) y＝f (x) 单调递增 且也单调递增 性质: 四、反函数 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数 内函数 外函数 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 函数能复合需满足： W 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 例1 解 单值函数, 有界函数, 偶函数, 周期函数(无最小正周期) * * 变量按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称是的函数，记作 定义 设和是两个变量,是一个给定的数集， 如果对于每个数, 设，函数值，求函数的解析表达式. 填空题: 若,则, . 若, 则=_________，=_________. 3、不等式的区间表示法是_________. 4、设,要使 时，, 须__________. 二、证明在上的单调性. 三、证明任一定义在区间上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设是以2为周期的函数， 且,试在上绘出 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的