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数值计算方法 第1章 绪论 随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课,也是工科硕士研究生的学位必修课。 数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法在理论上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分有效. 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程 实际问题——〉数学模型——〉数值计算方法——〉程序设计——〉上机运行求出解 实际问题——〉数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应用数学的任务。 数值计算方法——〉程序设计——〉计算结果：根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务。 数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论 包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计算时间的最小（也就是计算费用）,占用内存空间少. 有的方法在理论上虽不够严格，但通过实际计算，对比分析等手段，被证明是行之有效的方法，也可以采用。因此，数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实验的高度技术性特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。 1.1数学问题的数值解法例示 例1..1.1试求函数方程x=cosx在区间 内的一个根。 解 1.1数学问题的数值解法例示 现取h=0.05,其结果见下表: 1.2误差概念和有效数 在任何科学计算中其解的精确性总是相对的,而误差则是绝对的.我们从下面这个例子就可以了解误差产生的原因. 例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期. 误差的分类 模型误差 从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差. 观测误差 一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。 截断误差 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。 误差和有效数字 误差估计 由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差界就是用于误差估计的。 误差估计 有效数字 在工程上，误差的概念就转化为有效数字。 2007.9.4 绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相对误差界。 函数值的误差估计 引入微分符号 例题 多元函数误差估计 例题 1.3算法的优化 算法优劣的标准 从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少. 从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定. 从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现. 设计算法时应遵循的原则 要有数值要稳定性,即能控制误差的传播. 避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上. 避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失. 避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出. 例题 2007.9.7 显然算法不稳定，理论上成立的算法，在计算机上机算时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果的失真，这是我们数值计算方法所要研究的。 算法二表明,仅用不多的五次函数值的计算,已获得π的具有五位有效数字的近似值。 * * … … … 1.73205 1.73205 1.0 2.23607 2.23607 2.0 1.61245 1.61245 0.8 2.14476 2.14476 1.8 1.48324 1.48324 0.6 2.04939 2.04939 1.6 1.34164 1.34164 0.4 1.94396 1.94396 1.4 1.18322 1.18322 0.2 1.84931 1.84931 1.2 1.00000 1.00000 0 y yn xn y yn xn