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第一章 优化设计概述 优化设计（Optimal Design）首先要根据工程需要将实际问题转化成数学模型，然后选择合理的优化方法，通过计算机求得最优解。 第一节 优化设计问题的实例 例1-1 制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1、宽x2和高x3，使箱盒的用料最省。 解：箱盒的用料与表面积有关，用料最省，也就是箱盒的表面积S最小，由图1-1可知盒表面积表达式： 由题意，箱盒的体积，长、宽、高的限制为： 箱盒表面积S表达式称为目标函数。参数x1、x2和x3称为设计变量，其中：x1x2x3＝100为等式约束条件；、和为不等式约束条件。 箱盒的优化设计问题可以表述为：求一组设计变量x1、x2和x3，在满足约束条件的前提下，使目标函数－箱盒的表面积S为最小。 例1-2 某建筑公司，在12000m2的土地上，建造分别占地1012m2和1617m2的甲、乙两种住房，甲种不能超过8所，每所可获利润1万元；乙种不能超过4所，每所可获利润2万元。问两种住房各建几所可获得最大利润? 解：设建造甲、乙两种房的数目分别为x1、x2，公司能获得的最大利润的表达式为目标函数： 甲、乙两种住房的数目为约束条件 该问题是在满足不等式约束条件下，使公司获得最大利润的优化设计问题。 例1-3 图1-2所示为圆形等截面销轴受载情况的简化模型，一端固定，另一端作用集中载荷N和力矩N(m，结构要求轴长度L不小于80mm。销轴材料的许用弯曲应力MPa；许用切应力MPa；允许挠度mm；密度t/m3；弹性模量MPa。在满足使用要求的前提下，使其销轴的质量最轻。 解：销轴质量最轻的目标函数表达式 销轴的质量取决于变量直径d和长度L。在满足使用要求的前提下d和L的取值要受到限制，其限制条件是： （1）弯曲强度 最大弯曲应力不得超过许用值 （2）扭转强度 扭转剪应力不得超过许用值 （3）刚度 最大挠度不得超过许用值 （4）结构尺寸 悬臂梁的长度不得小于Lmin＝80mm 以上实例均为实际问题的优化设计简单叙述。就是在一定约束条件下，选择适当的参数，并建立优化设计所规定的数学模型，选挥合适的优化设计方法，通过计算机运算，才能获得最优设计方案或最优值。 第二节 优化设计的数学模型 通过以上例子可以看出，每个设计问题的具体要求和约束条件各不相同，但都将优化问题转化为数学模型，该数学模型通常由设计变量、目标函数和约束条件构成。 一、设计变量 在优化设计中，可以进行调整和优选的独立参数称为设计变量。如上述例1-1中的箱盒的长x1、宽x2和高x3；例1-3中销轴的直径d和长度L都称为设计变量。而销轴的载荷F、密度(和材料的许用应力等则称为设计常量，它们在优化过程中是固定不变的。 设计变量可分为两种类型，连续变量和离散变量。绝大多数的设计变量都为连续变量，优化求解也比较方便。而离散变量取值是跳跃式的，如齿轮的模数，螺栓的公称直径等。对于离散变量可利用离散优化方法求解。 设计变量的全体，实际上是一组变量，变量的个数称为设计的维数，如有n个设计变量，则称为n维优化设计问题。若将n个设计变量按一定的次序排列起来，构成一个n维向量，即写成： 上式中右上角“T”为矩阵的转置符。把X定义为n维欧氏空间的一个向量，设计变量x1，x2，…，xn为向量X的n个分量。在优化设计中，这种以n个设计变量为坐标轴组成的实空间称为n维实空间，用Rn表示。它是以设计变量x1，x2，…，xn为坐标轴的n维设计空间。设计空间包含着该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案对应着设计空间的一个设计向量或者说一个设计点X。 当维数n＝2时，如图1-3a所示，设计变量x1，x2组成二维设计空间为坐标轴所构成的平面。其任一设计方案都可用二维向量表示，记为。当维数n＝3时，即由三个设计变量x1、x2和x3组成一个三维设计空间，如图1-3b所示。其任一设计方案表示为。 这样，对于例1-1箱盒的优化设计问题，设计变量可取长x1、宽x2和高x3。，是三维优化问题。对于例1-3，销轴的优化设计，设计变量取x1＝d，x2＝L，为的二维优化问题。设计变量的数目又表示设计的自由度，数目越多，其设计空间的维数越高，则设计自由度越大，可供选择的方案越多，容易得到比较理想的设计方案。但问题的复杂程度也相应增加，优化设计更加困难。因此，对于—个优化设计问题来说，应恰当地确定优化设计变量的数目。原则上，在满足设计基本要求的前提下，应尽量减小设计变量的数目，尽可能把影响不大的参数定为设计常量，只把对目标函数影响较大的独立参数选为设计变量，以便使优化设计问题得到简化。 二、目标函数 目标函数又称为评价函数。在前面所举的几个例子中，如箱盒的用料最省；建筑公司如何建造甲、乙两种住房可获得最大利润；销轴的质量最轻等，都是