KPCA方法的推导.doc

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KPCA(Kernel based Principle Component Analysis)方法的推导 首先证明该样本集合协方差矩阵的特征向量处于样本所张成的空间,即:,设有样本集合:,假设样本的均值为0,即:,。 [证明] 样本集合的协方差矩阵为:,令为的特征值,为对应特征矢量,则有: (1) 即: 因此:。 证毕 推导特征空间中协方差矩阵特征值和特征向量的求解方法。设有样本集合:,取非线性映射:,为样本所处的维欧氏空间,称为输入空间,为一个Hilbert空间,称为特征空间,样本在特征空间中的内积可以用一个核函数来计算:。假设样本集合在特征空间中的均值为0,即:。 样本在特征空间中的协方差矩阵为: (3) 令:为的特征值,为对应的特征矢量,则有: (4) 利用之前证明的结果,特征矢量,即存在,使得: (5) (5)式左乘,则有: (6) 将(5)式代入(6)式左端: (7) 其中: 为矢量的第j个元素. 将(3)和(5)式代入(6)式得右端: (8) (7)式(8)式相等,则有: (9) 因此,求取的特征值和特征向量的问题可以转化为如下特征值问题: (10) 用代替,即为: (11) 令:为矩阵的特征值,为特征矢量,则对应的的第个特征值和特征矢量为: , (12) 其中为的第个元素。 规范化,将转化为单位矢量。 因此只须使,即可使规范化。 计算样本在特征空间中第个轴上的投影,利用(12)式,有: (13) KPCA算法: 计算矩阵;; 计算的特征值和特征向量:,,取最大的前个特征值; 规范化前个特征向量,使得; 利用(13)式可以计算样本的第个核主成分。

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