导数与函数的综合问题(学生).docVIP

导数与函数的综合问题 考点一 利用导数研究生活中的优化问题 [典例]　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． [针对训练] 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出： Y ＝求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 考点二 利用导数研究恒成立问题及参数求解 [典例]　设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围． [类题通法] (1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解． (2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解． [针对训练] 设函数f(x)＝x2＋ex－xex. (1)求f(x)的单调区间； (2)若当x[－2,2]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围． 考点三 利用导数证明不等式问题 [典例]　已知函数f(x)＝ax－ex(a0)． (1)若a＝，求函数f(x)的单调区间； (2)当1≤a≤1＋e时，求证：f(x)≤x. [类题通法] 利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． [针对训练] 已知函数f(x)＝x2－ax3(a0)，函数g(x)＝f(x)＋ex(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a＝e， ()求函数g(x)的单调区间； ()求证：x0时，不等式g′(x)≥1＋ln x恒成立． [课堂练通考点] 1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为(　　) A．a≥3　　　　　　　　　　B．a3 C．a≤3 D．a3 2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(　　) A．12 cm3 B．72 cm3 C．144 cm3 D．160 cm3 3．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________． 4．设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线． (1)求L的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方． [] 第卷：夯基保分卷 1．已知y＝f(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(　　) A. B. C. D．12．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　) A．20 B．18C．3 D．0 3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若ab，则必有(　　) A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a) 4．设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4