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小学数学“数的运算”主线分析 关于数概念的一些问题 一些概念的二重性：数（数的过程，数的结果，引出自然数的多重意义，分数的四种定义） 强调数学认知的二重性 数概念的发展一般先“整数”后“分数”、“小数”，需要关注的是“前面的数”对“后续的数”学习的影响 学生对“分数”的解释： 1认为分数是有两个独立的自然数构成（局限于自然数） 2一个整体的部分（局限于比1小） 3理解了分子与分母的关系（较为全面） 学生在“两个小数大小比较”上的问题 0.123比0.9大（认为数字多的大：因为18比9大，受到了整数的影响，应该强化对小数每一位的意义的理解） 0.8比0.83大（认为位数少的大：小数位数越多（0.83），所代表的值越小（1/100）；位数越少（0.8），所代表的值越大（1/10），受到了分数的影响，甚至因为1/45比1/3小，所以0.45比0.3小，强化分数与小数的互化） 对四则运算的分析 案例1 为什么学生会说“原先有1个梨，再拿来2个梨，现在有3个梨” 加减法的意义： 1聚合 2比较 3增加性变化 4减少性变化 前两者是数量之间的静态关系，后两者涉及动态变化 学生关注的是“加法”的动态意义，即随时间顺序上的增加，而忽视了静态意义，即“两部分合起来”，事实上，动态意义恰好与运算过程相呼应，但是遇见“小明有5支铅笔，小红有3支毛笔，他们一共有多少支笔？”等问题（即不同类的合并），动态意义就有问题了，学生理解起来就麻烦了。 应该在教法上设计逐步去掉现实情境，逐步的“数学化” 学生的回答“我是数鸭子数出来的”意味着什么？ 学生在加减法上理解的不同水平 第一层次：单一性的 第一阶段 加项或和的单一表示（借助实物，数出来的） 第二阶段 简化的计数过程 （也是数出来的，只不过没有从头数，而是从“大数”开始数） 可能的错误“5+3=7”（从5开始数，而不是从6开始数） 第三阶段 利用已知事实计算结果（8+7=（8+2）+5=10+5=15，利用了8+2=10,10+5=15,2+5=7等事实） 第二层次 多单位的 竖式计算，涉及多个单位“个”、“十”、“百”等 学生的回答“就好比马路上有车，或其他的物体也行”有用吗？ 隐含着“3+2=5”不仅能解决“鸭子有多少只”也能解决“马路上有多少汽车”或者其他的“求和” 即“加法是解决一类问题的模型”应该成为一个教学目标，数学的价值体现 案例2 活动一：3×4的改变 4+4+4 3+3+3+3 4×2+4 4×4-4 3×5-3 3×3+3 几个几？ 不管怎么变，什么是一样的？ 得数——算式的意义 活动二 进一步变（不在算式中改变，变成图形） 平面图形 立体图形 线段 活动三 进一步延伸 线段 表示的4个3 再添一份 表示5个3 再添一份 表示6个3 如果有10份，100份，1000份呢 如果有n份呢 n×3或者3×n 3×n中的3表示什么？n表示什么？ 活动四 比大小 出牌比大小 3×7与4×7， 4+4与4×4 99+99与99×99 乘法的意义 1等量组的聚集（“连加”、“几个几的和”，被乘数与乘数地位不对称） 2倍数问题 3配对问题 4矩形模型 5映射模型 算理（运算的意义）与算法（解题步骤）谁更重要？ 估算问题 案例3 认识估算 估算与精算 估算是相对于精算的一个概念，是对一些数量关系无法或者没有必要进行精算计算时进行的合理推理，从而给出一个近似答案。 精算是一种定量思维形式，有一定的规律可循；精算能力主要是一种程序化、精确化、相对更外部化的认知能力；所获结果较为精确； 估算是一种定性思维形式，是对当前所面临的情境的一种整体把握，是一种直觉判断，有更大的灵活性和可变通性；估算能力主要是一种表现出比较强的直觉化、跳跃化与内隐化特点；所获结果为在一定范围内对答案的估计 精算与估算相辅相成，比如若精算分为心算、口算、笔算，心算和口算从使用的运算策略的角度来看更接近于估算。 估算策略 策略种类 一般策略（粗略心算、结果凑整） 整数策略（取整、截取、调整并修饰结果） 小数策略（忽视小数部分、改变数位、将小数调整为宜解决小数） 分数策略（共同分母、看做单位数“1”、将分数化为易处理小数、加减分子分母、将分数调整为宜处理分数） 策略使用频率 取整、忽视小数部分、截取、共同分母、看做单位数“1” 、将分数调整为宜处理分数 估算教学中的困惑 估算“必要”吗？ 如何确定何时用估算，何时用精算？ 问题： 将估算视为一种具体的技能来教 比如，每个足球78元，买2个足球，请你估计150元够吗？请估算388+120,388+110的和是多少？一半学生238人，二班学生158人，399个位置够吗？（要求估就估） 低年级估算教学的尴尬 1低年级学生的认知水平与思维方式比较低，学生更喜欢并认可具体